Lógica/Construcción de sistemas lógicos

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Sólo en la lógica y las matemáticas podemos construir sistemas completamente coherentes, es decir consistentes, siempre y cuando explicitemos las reglas según las cuales son posibles las inferencias deductivas dentro del sistema.

Dado que la lógica trata de sistemas formales, es decir que no tienen contenido material, los símbolos carecen de contenido semántico, y puesto que explicitamos completamente las reglas que nos permiten construir "expresiones bien formadas", (EBF), en realidad construimos un cálculo.

Concepto general de cálculo

El cálculo es un sistema de símbolos no interpretados, es decir, sin significación alguna, en el que se establecen mediante reglas estrictas, las relaciones sintácticas entre los símbolos para la construcción de expresiones bien formadas (EBF), así como las reglas que permiten transformar dichas expresiones en otras equivalentes; entendiendo por equivalentes que ambas tienen siempre y de forma necesaria el mismo valor de verdad. Dichas transformaciones son meramente tautologías.

Un cálculo consiste en:

1. Un conjunto de elementos primitivos. Dichos elementos pueden establecerse por enumeración, o definidos por una propiedad tal que permita discernir sin duda alguna cuándo un elemento pertenece o no pertenece al sistema.
2. Un conjunto de reglas de formación de “expresiones bien formadas”(EBFs) que permitan en todo momento establecer, sin forma de duda, cuándo una expresión pertenece al sistema y cuándo no.
3. Un conjunto de reglas de transformación de expresiones, mediante las cuales partiendo de una expresión bien formada del cálculo podremos obtener una nueva expresión equivalente y bien formada que pertenece al cálculo.

Cuando en un cálculo así definido se establecen algunas expresiones determinadas como verdades primitivas o axiomas, decimos que es un sistema formal axiomático.

Un cálculo así definido si cumple al mismo tiempo estas tres condiciones decimos que es un Cálculo Perfecto:

1. Consistente: No existe ninguna expresión bien formada tal que ella y su negación sean ambas teoremas del sistema. Es decir, no puede haber contradicción entre dos expresiones del sistema.
2. Completo: Para cualquier expresión bien formada, o bien ella o bien su negación son teoremas del sistema. Es decir, no hay ninguna expresión cuya verdad le sea indiferente al sistema.
3. Decidible: Dada cualquier expresión bien formada del sistema podemos encontrar un método que nos permita decidir mediante una serie finita de operaciones si dicha expresión es o no es un teorema del sistema.

La misma lógica-matemática ha demostrado que tal sistema de cálculo perfecto "no es posible" según el Teorema de Gödel.

Sistematización de un cálculo

Reglas de formación de fórmulas:

I.- Una letra enunciativa (con o sin subíndice) es una EBF.

II.- Si A es una fórmula, ¬ A también lo es.

III.- Si A es una EBF y B también, A /\ B; A \/ B; A → B; A ↔ B también lo son.

IV.- Ninguna expresión es una fórmula del Cálculo sino en virtud de I,II,III.

Nota: A, B, ... con mayúsculas están utilizadas como metalenguaje en el que cada variable expresa cualquier proposición, atómica o molecular.

Reglas de transformación de fórmulas

R.T.1: Dada una tesis EBF del cálculo, en la que aparecen variables de enunciados, el resultado de sustituir una, algunas o todas esas variables por expresiones bien formadas (EBF) del cálculo, será también una tesis EBF del cálculo. Y ello con una única restricción, si bien muy importante: cada variable ha de ser sustituida siempre que aparece y siempre por el mismo sustituto.

Veamos el ejemplo:

1	[(p /\ q) \/ r ]	--->	t \/ s
2	A \/ r	--->	B	donde A = p /\ q y B = t \/ s
3	C	--->	B	donde C = A \/ r

Esta regla recibe el nombre de regla de sustitución

R.T.2: Si X es una tesis EBF del sistema y lo es también X --> Y, entonces Y es una tesis EBF del sistema.

Esta regla recibe el nombre de regla de separación

Sobre la base de estas dos reglas, siempre podremos reducir un argumento cualquiera a la forma:

[A /\ B /\ C...... /\ N ] ----> Y

lo que constituye un esquema de inferencia en el que de la verdad de las premisas A,B,N y su producto, podemos obtener la conclusión Y.

El concepto de Modelo

Dado que el curso es de iniciación a la lógica, a fin de dar claridad a los conceptos, que no siempre son fáciles de comprender, vamos a construir un sistema de cálculo, construyendo al mismo tiempo un modelo de dicho cálculo con el lenguaje natural español.

Aclaramos previamente qué entendemos por modelo:

Cuando en un Cálculo C, se establece una "correspondencia" de cada símbolo con elementos determinados individuales distinguibles entre sí, de un Universo L, real, (tal universo L no es un conjunto vacío, por las mismas condiciones que hemos establecido) ENTONCES se dice que L es un MODELO de C.

El lenguaje natural como modelo de un cálculo lógico

Naturalmente el cálculo lógico es útil porque puede tener aplicaciones, pero ¿en qué consisten o cómo se hacen tales aplicaciones?

Podemos considerar que el lenguaje natural es un modelo de C si podemos someterlo, es decir, aplicarle una correspondencia en C.

Para ello es necesario someter al lenguaje natural a un proceso de formalización de tal forma que podamos reducir las expresiones lingüísticas del lenguaje natural a EBFs de un cálculo mediante reglas estrictas manteniendo el sentido de verdad lógica de dichas expresiones del lenguaje natural.

Las diversas formas en que tratemos las expresiones lingüísticas dan lugar a sistemas diversos de formalización y cálculo:

• Cálculo proposicional o cálculo de enunciados

Cuando se toma la oración simple significativa del lenguaje natural con posible valor de verdad o falsedad como una proposición atómica, como un todo sin analizar.

La oración simple: "Llueve", es tomada como posible valor de verdad o falsedad como una variable "p". "p" puede ser verdadera: Llueve. "p" puede ser falsa: No llueve. "Hoy es Martes" puede ser V si hoy es Martes y en cualquier otro caso es F.

• Cálculo como lógica de clases

Cuando se toma la oración simple significativa del lenguaje natural con posible valor de verdad o falsedad como resultado del análisis de la oración como una relación de individuos o posibles individuos que pertenecen o no pertenecen a una clase.

Siendo una clase el conjunto de posibles individuos en los que se incluye el Sujeto y la otra el conjunto de posibles individuos que se incluyen en el predicado de la oración.

Esta es la forma en la que en la actualidad se interpreta la lógica silogística de Aristóteles, que queda así se reducida a un cálculo según la teoría de conjuntos.

La oración simple "Todos los caballos corren por el campo" está analizada como: La clase de todos los posibles seres que corren por el campo (B) incluye a la clase formada por todos los posibles seres que sean caballos (A).

La oración simple "Todos los caballos corren por el campo" está tomada en sus posibles valores de verdad V, verdadera o F, falsa. Si la clase de los seres que corren por el campo incluye a todos los caballos, entonces "Todos los caballos corren por el campo" es V, verdadera. Si la clase de todos los caballos no está incluida en la clase de todos los seres que corren por el campo entonces la expresión "Todos los caballos corren por el campo" es F, falsa.

Siendo A la clase de los caballos y B la clase de los seres que corren por el campo esto lo representaremos como

$A\subset B$ si "Todos los caballos corren por el campo es Verdadera. En cualquier otro caso es Falsa.

• Cálculo de predicados o cuantificacional

Cuando se toma la oración simple significativa del lenguaje natural con posible valor de verdad o falsedad como resultado del análisis de la misma de forma que una posible función predicativa (P), se predica de una posible sujeto variable (x) o de una constante individual existente (a).

La oración simple "los perros muerden" se interpreta de la siguiente forma

$\land x$=Todos los posibles perros;

$P$ = todas las posibles acciones de morder.

$\land xP(x)$ = Para todo x (siendo x un perro) x muerde = Todos los perros muerden.

Si esto es así el enunciado "Todos los perros muerden" es verdadera. En cualquier otro caso, es falsa.

En el caso de Desko que es mi perro al que simbolizo como una constante $a$:

$P(a)$ = Mi perro Desko muerde. Si mi perro Desko muerde entonces "mi perro Desko" es verdadera, y en cualquier otro caso es falsa.8==D

• Cálculo como lógica de relaciones

Cuando se toma la oración simple significativa con posible valor de verdad propio, verdado o falso, como resultado del análisis de la oración como una relación "R" que se establece entre un sujeto y un predicado.me la pelan todos

Así la oración simple "Antonio es mayor que Pedro", se considera y simboliza bajo la relación "ser mayor que" (R) que se da entre Antonio (a) y Pedro (p) y se simboliza como $aRp$.

Si Antonio es mayor que Pedro, entonces el enunciado "Antonio es mayor que Pedro" es verdadero y en cualquier otro caso es falso.

La simbolización y formación de EBFs en cada uno de esos cálculos, así como las reglas de cálculo requiere un simbolismo y unas reglas específicas.tu mama

Por el momento, y para un cálculo básico, de deducción natural, vamos a construir un sistema de cálculo de enunciados, considerando la proposición como un todo, verdadero o falso. todo es mentira

Construyendo nuestro cálculo

Para el cálculo de enunciados podemos considerar que el lenguaje natural es un modelo de L si podemos someterlo, es decir, aplicar una correspondencia en L. Esto es lo que hacemos mediante las

Reglas de Simbolización

• Regla I.

Cada uno de los enunciados simples del lenguaje natural se sustituirá por variables proposicionales simbolizadas por letras minúsculas, p,q,r,s,t,.....

• Regla II.

Las expresiones del lenguaje natural tales como "no", "no es cierto", "no es el caso que" "es falso", "es imposible" etc. se sustituir n por el símbolo $\lnot$

• Regla III.

Las expresiones del lenguaje natural tales como "y", "ni" "pero", "que", "mas", se sustituyen por el símbolo $\land$

• Regla IV.

Las expresiones del lenguaje natural tales como "o", "o...o", "bien...bien", "ya...ya", etc., se sustituyen por el símbolo $\lor$

• Regla V.

Las expresiones naturales tales como "si.... entonces", "luego....", "por tanto", "por consiguiente", "con tal que...", "se infiere", "se deduce" etc.,. se sustituir n por el símbolo $\rightarrow$

• Regla VI.

Las expresiones del lenguaje natural tales como "...si y solo si...", "..equivale a..", "..es .igual a..." m "vale por...","...es lo mismo que...", se sustituir n por el símbolo $\leftrightarrow$

Uso de paréntesis:

1.- No se utiliza paréntesis en aquellos casos en que los conectores afecten a enunciados simples o atómicos.

2.- Se utiliza paréntesis cuando el conector afecte a toda una conjunción, disyunción, condicional o bicondicional.

3.- Se utiliza el paréntesis en las expresiones conjuntivas y disyuntivas precedidas o seguidas de un condicionador o bicondicionador.

4.- Se utiliza el paréntesis en las expresiones que nos interese precisar la dominancia del conector, o bien porque los conectores posean la misma dominancia -como en el caso del conjuntor y del disyuntor que son idempotentes- o bien porque el sentido de la expresión exige la alteración de la dominancia de las conectivas fuertes -el condicionador y el bicondicionador que son las conectivas fuertes.

Nota: Desgraciadamente existen varios sistemas de simbolización. Aquí utilizamos el que pensamos que más se ha utilizado en España.

Ejercicios

• Poner A si el enunciado es atómico, M si es molecular

Margarita lloraba con el rostro oculto entre las manos. Si estamos en Mayo, pronto llegará el verano. De haber tenido un tío en América me hubiera dedicado a la caza de mariposas.

• Simbolizar aplicando la regla II

No es cierto que la lógica sea difícil. Pedro no es médico. Es imposible que sea cierto lo que dices.

• Simbolizar aplicando la regla III

Los tejados son de pizarra y las puertas de madera. Ella tiene la ley, tiene el perfume, el color y la línea. No es cierto que cantaran y bailaran.

• Simbolizar aplicando la regla IV

El consomé se servirá frío o templado. O me eligen presidente o abandono la política. Ya sea por el estudio, ya sea por la suerte, aprobar‚ el curso. O se queda o se marcha. No es posible que se quede y se marche.

• Simbolizar aplicando la regla V

Hace frío, luego no es verano. Se convertirá en demócrata con tal de ocupar un cargo. Para poder vivir basta con tener un trabajo fijo.

• Simbolizar aplicando la regla VI

Un mineral es metal si y solo si es un buen conductor de la electricidad. La suma de los ángulos de un triángulo equivale a 180§. Como decía Alfredo, sólo los que conocen Oviedo pueden disfrutar leyendo la Regenta.

• Ejercicios de resumen

Es falso p y q; p y q son falsos; Ni p ni q son verdaderos; Si no p y no q entonces r; p,q,r, y, s ó t; p,q,r y s, o t; O p o q pero no ambas; No es cierto que si p entonces no q; Si p y no q, entonces r o s De p y q se deduce r.

Conceptos a retener

• Sistema formal
• Contenido semántico
• Proposición. Proposición atómica y Proposición molecular
• Axioma
• Teorema
• Metalenguaje
• Esquema de inferencia
• Modelo
• Clase