FFIA/Dinámica

La dinámica es la parte de la mecánica que estudia el motivo del movimiento de los cuerpos, dando respuesta a la pregunta ¿Por qué se mueve?.^[1]

Conceptos básicos

La dinámica trabaja fundamentalmente con las trayectorias de los cuerpos y con las fuerzas que actúan sobre ellos. Para trabajar con ellas necesitamos definirlas primero:

Trayectoria: lugar geométrico de los puntos del plano por donde pasa (o pasará) un cuerpo en movimiento.
Fuerza: interacción entre dos partículas (o conjuntos de partículas).

Para poder tratar el tema es necesario saber donde nos encontramos, definimos:

Sistema: Conjunto de partículas que estudiamos.
Entorno: Conjunto de partículas que NO estudiamos (directamente).
Universo: Conjunto de partículas que engloba las que estudiamos y las que no, es decir, unión de los dos conjuntos anteriores. De esto se deduce que la suma de los conjuntos "sistema" y "entorno" es directa.^[2]

Estas tres definiciones nos permiten distinguir dos tipos de fuerzas:

Fuerzas interiores del sistema: son aquellas que son generadas por la interacción de las partículas del sistema entre sí. Se las denomina más comúnmente fuerzas internas.
Fuerzas exteriores al sistema: son aquellas que son generadas por la interacción entre las partículas del sistema y las partículas del entorno. Se las denomina más comúnmente fuerzas externas.

No está demás mencionar ahora cuales pueden ser estas fuerzas:

Fuerza gravitatoria.
Fuerza electromagnética.
Fuerza nuclear débil.
Fuerza nuclear fuerte.

Dinámica de la partícula: leyes y magnitudes básicas

En esta parte de la dinámica se trabaja con:

Un sistema con una sola partícula.
Un entorno con diversas partículas que harán diversas fuerzas sobre la partícula del sistema.

Para poder trabajar necesitamos definir antes las leyes de Newton.

Primera Ley de Newton

La Primera Ley de Newton dice:

Todo cuerpo permanece en reposo o en Movimiento Rectilíneo Uniforme si no actúa ninguna fuerza sobre él o si la resultante de todas ellas es nula.

De esta ley deducimos dos corolarios:

No existe ninguna diferencia entre el reposo y el Movimiento Rectilíneo Uniforme, es decir, son equivalentes.
La tendencia natural de los cuerpos es el desplazamiento en línea recta.

A raíz de esta ley (y de los dos corolarios) podemos definir:

Partícula libre: partícula tal que la resultante de las fuerzas que actúan sobre ella es nula o que está absenta de fuerzas.
Sistema de Referencia Inercial: Sistema de Referencia situado sobre una partícula libre.

A partir de la ley, sus corolarios y de la definición de partícula libre podemos decir que dos partículas libres se mueven con velocidad relativa constante.

Pero llegados a tal punto conviene preguntarse:

Para cualquier sistema de partículas, el conjunto del universo que no forma parte del sistema existe (por definición) y ejercerá fuerzas sobre las partículas del sistema. Entonces, ¿existe realmente alguna partícula libre?

o lo que es lo mismo

¿Existe alguna partícula sobre la que no actúen fuerzas o la resultante de todas ellas sea nula?

Y la respuesta es la siguiente:

Como los cuerpos tienen como tendencia natural el desplazamiento en línea recta cuando no están sometidos a ninguna fuerza, podemos demostrar que los cuerpos que se trasladan con otro tipo de trayectoria, experimentan fuerzas. Dicho esto, podemos responder a la pregunta. La superficie terrestre no es un Sistema de Referencia Inercial porque cualquiera de sus puntos gira alrededor del eje polar; el centro de la tierra no es un Sistema de Referencia Inercial porque gira entorno al Sol; el Sol no es un Sistema de Referencia Inercial porque gira entorno al centro de la Vía Láctea; el centro de la Vía Láctea no es un Sistema de Referencia Inercial porque gira entorno al centro de masas del cúmulo de galaxias al que pertenece, y así sucesivamente. Por lo tanto podemos concluir que como no existe ninguna partícula aislada de las interacciones del resto de partículas, no existe ninguna partícula libre, y por lo tanto, no existe ningún Sistema de Referencia Inercial.

No obstante, definimos y usamos los conceptos de partícula libre y Sistema de Referencia Inercial porque muchas veces se da el caso en que la partícula está sometida a fuerzas tan pequeñas que las menospreciamos. Es entonces cuando toman sentido estas dos definiciones.

Segunda Ley de Newton

Antes de definir la segunda ley de Newton, tenemos que definir el concepto de cantidad de movimiento:

{\vec {p}}=m{\vec {v}}

La cantidad de movimiento^[3] es una magnitud vectorial y se define como el producto de la masa (escalar) del cuerpo por su velocidad (vector) en un instante determinado. Esta magnitud nos proporciona al mismo tiempo una noción de la trayectoria instantánea, la velocidad y la masa de la partícula y sus unidades del SI son [kg ms^-1]. Ahora podemos enunciar la Segunda Ley de Newton:

La variación de la cantidad de movimiento en el tiempo experimentada por un cuerpo es proporcional a la fuerza aplicada y se realiza en la misma dirección y sentido que ésta.

En términos matemáticos: ${\frac {d{\vec {p}}}{dt}}=\sum _{i=1}^{N}{\vec {F}}_{i}$

Donde ${\frac {d{\vec {p}}}{dt}}$ es la derivada de la cantidad de movimiento respecto del tiempo y $\sum _{i=1}^{N}{\vec {F}}_{i}$ es el sumatorio de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula.

Desarrollando:

\sum _{i=1}^{N}{\vec {F}}_{i}={\frac {d{\vec {p}}}{dt}}={\frac {d}{dt}}(m{\vec {v}})={\begin{cases}m{\vec {a}},&{\mbox{cuando }}m{\mbox{ es constante}}\\{\vec {v}}{\frac {dm}{dt}}+m{\vec {a}},&{\mbox{cuando }}m{\mbox{ es variable (ejemplo, un cohete)}}\\m=\gamma m_{0}&{\mbox{cuando }}{\vec {v}}{\mbox{ es del orden de 0,01 veces la velocidad de la luz o superior}}\end{cases}}

^[4]

Normalmente usaremos la ecuación $\sum _{i=1}^{n}{\vec {F}}_{i}=m{\vec {a}}_{p{/}o}$ , que relaciona la resultante de las fuerzas con la aceleración de la partícula respecto de un Sistema de Referencia Inercial. Expresada en varios sistemas de coordenadas:

Coordenadas Cartesianas: ${\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}}$ (base positiva de vectores ortonormales sobre cualquier punto SRI).

{\Bigg \{}\sum _{i=1}^{N}F_{i,x}=ma_{x}

;

\sum _{i=1}^{N}F_{i,y}=ma_{y}

;

\sum _{i=1}^{N}F_{i,z}=ma_{z}

Coordenadas Intrínsecas: ${\vec {u}}_{t},{\vec {u}}_{n},{\vec {u}}_{b}$ (base positiva de vectores ortonormales sobre la partícula SRI).

{\Bigg \{}\sum _{i=1}^{N}F_{i,t}=ma_{t}

;

\sum _{i=1}^{N}F_{i,n}=ma_{n}

;

\sum _{i=1}^{N}F_{i,b}=0

Coordenadas Polares Planas: ${\vec {u}}_{r},{\vec {u}}_{\theta },{\vec {k}}$ (base positiva de vectores ortonormales sobre la partícula SRI).

{\Bigg \{}\sum _{i=1}^{N}F_{i,r}=ma_{r}

;

\sum _{i=1}^{N}F_{i,\theta }=ma_{\theta }

¡¡¡Atención!!!: el sumatorio de fuerzas del eje binormal de las coordenadas intrínsecas es cero.

Las coordenadas cartesianas se usan para: trayectorias rectilíneas.

Las coordenadas intrínsecas se usan para: trayectorias curvilíneas.

Las coordenadas polares se usan para: fuerzas gravitatorias, electroestáticas y para muelles.

Segunda Ley de Newton para Sistemas de Referencia NO Inerciales (acelerados): según la ley de transformación de aceleraciones de Galileo, podemos transformar la Segunda Ley de Newton de la siguiente manera:

\sum _{i=1}^{n}{\vec {F}}_{i}=m{\vec {a}}_{p{/}o'}+m{\vec {a}}_{o'{/}o}

Donde

{\vec {a}}_{p{/}o'}

es la aceleración relativa de la partícula respecto del SRNI y

{\vec {a}}_{o'{/}o}

es la aceleración relativa del SRNI respecto del SRI.

Si nos encontramos en un SRNI definiremos como fuerzas fictícias aquellas fuerzas que resulten a partir de la aceleración del propio SRNI y como fuerzas reales el resto de fuerzas. La Segunda Ley de Newton nos queda:

\sum _{i=1}^{n}{\vec {F}}_{i,real}-\sum _{i=1}^{n}{\vec {F}}_{i,fict}=m{\vec {a}}_{p{/}o'}

Tercera Ley de Newton

Cuando una partícula "a" ejerce una fuerza sobre otra partícula "b", la partícula "a" experimenta sobre sí una fuerza de igual módulo, igual dirección y sentido contrario que la fuerza ejercida sobre "b".

Esta ley enuncia las fuerzas de acción y reacción. Sobre ellas debemos recordar que:

Tienen igual módulo.
Tienen igual dirección.
Tienen sentidos opuestos.
Actúan sobre cuerpos distintos. ¡¡¡Muy importante!!!

Dinámica de sistemas de partículas

En este apartado hablaremos de sistemas con varias partículas que interaccionan entre sí y con el entorno.

Movimientos interdependientes

Consideremos un sistema de cuatro partículas; dos poleas y dos bloques. Una de las poleas está fija al techo, y del centro de la otra cuelga uno de los bloques (B). El otro bloque (A) cuelga del extremo de una cuerda que pasa por encima de la polea que cuelga del techo, pasa por debajo de la polea de la que cuelga el bloque B y se une al techo.

Si trazamos dos líneas horizontales imaginarias de forma que cada una pase por el centro de una polea, descubrimos que la cuerda queda dividida en 6 segmentos; del bloque A hasta el punto EN CONSTRUCCIÓN

Referencias

↑ En anteposición a la cinemática, que estudia el movimiento de los cuerpos en sí mismo sin preguntarse el motivo, respondiendo a la pregunta ¿Cómo se mueve?.
↑ Suma directa de dos o más conjuntos: es aquella suma que da como resultado el total conjunto global.
↑ Cantidad de movimiento: momento lineal, ímpetu o momentum son denominaciones antiguas o no oficiales.
↑ Como recordatorio: $\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {|{\vec {v}}_{o'{/}o}|}{c}})^{2}}}}$

[1] En anteposición a la cinemática, que estudia el movimiento de los cuerpos en sí mismo sin preguntarse el motivo, respondiendo a la pregunta ¿Cómo se mueve?.

[2] Suma directa de dos o más conjuntos: es aquella suma que da como resultado el total conjunto global.

[3] Cantidad de movimiento: momento lineal, ímpetu o momentum son denominaciones antiguas o no oficiales.

[4] Como recordatorio: $\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {|{\vec {v}}_{o'{/}o}|}{c}})^{2}}}}$

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[4]