Fórmula de Inversión de Pascal

Aunque originalmente es una propiedad relacionada con secuencias numéricas, la fórmula de inversión de Pascal interviene principalmente en cursos sobre conteo y más particularmente en las clases principales de las escuelas de negocios.

Existen 3 formas básicas de demostrar esta propiedad numérica que son por técnicas sumatorias, cálculo matricial o por recurrencia, pero en realidad no se estudian tan a fondo, ya que lo importante es conocer la aplicación de esta propiedad para el conteo en los negocios.

Introducción

¿Qué significa que tenemos $n \choose k$ formas de elegir un conjunto de tamaño k de un conjunto de tamaño n?

n: son los eventos totales k: elementos totales

Ahora imaginemos que hacemos un árbol de decisión como al echar una moneda, con n= 3

Esto significa que ha tomado n decisiones, eligiendo una de 2^n alternativas, seleccionado k elementos y rechazando n-k, dividiendo así efectivamente n elementos en dos grupos (por lo tanto, es "bi" -nomial).

Asi con cada elemento que elija, se agrega una capa más (terminal) en la parte inferior de la pirámide, que duplica la cantidad de formas posibles porque puede ir hacia la izquierda o hacia la derecha desde cada nodo para que haya $A_{n}=2^{n}$. Estas $2^{n}$ se dividen en grupos $n+1$ por la cantidad de formas de aceptar la misma cantidad (k) de elementos cuando estamos expuestos a n opciones.

El número de formas en que puede hacerlo se denomina número de combinaciones o coeficiente binomial. También cuenta las formas en que puede llegar a cada nodo con el mismo número de opciones de aceptación. Los coeficientes binomiales correspondientes generalmente se presentan en la forma del Triángulo de Pascal.

Triángulo de Pascal.

Esto es muy útil para resolver binomios de Newton o probabilidades.$(a+b)^{n}$

Probabilidades

Puede establecer a = p y b = q = 1-p, las probabilidades de éxito o de fracaso . Estas pueden ser probabilidades de cara / cruz observadas al lanzar una moneda y no se requiere que p = q, solo que p es invariable en todos los n ensayos donde se produce una distribución binomial

${\begin{matrix}n=0&&&{0 \choose 0}\times 1&&\\n=1&&{1 \choose 0}\times p&&{1 \choose 1}\times q&\\n=2&{2 \choose 0}\times p^{2}&&{2 \choose 1}\times pq&&{2 \choose 2}\times q^{2}\\&k=0&&k=1&&k=2\end{matrix}}$

Ahora, puede comprender cómo la distribución binomial y la fórmula de inversión de Pascal $P(k)={n \choose k}p^{k}q^{n-k}$ aumentan cuando contamos la probabilidad de ganar k elementos. La probabilidad de observar la cadena 00001001 es igual a $p^{2}\times q^{6}$. Sin embargo, también puede elegir 2 elementos que toman otra ruta, por ejemplo, 10000100. La probabilidad de que esta otra ruta sea idéntica $p^{2}\times q^{6}$ porque es la probabilidad de que cada ruta gane dos elementos.

Hay $C_{8}^{2}={8 \choose 2}$ en tales rutas, por lo tanto, la probabilidad de dos éxitos de 8 es de $C_{8}^{2}p^{2}q^{6}$. Generalmente, tu probabilidad de éxito es dada por la fórmula:

$P(k)={n \choose k}p^{k}q^{n-k}$

Donde

${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}$

Ejemplo

Un paciente, que tiene 32 dientes, visita a su dentista para su chequeo anual. Éste lo descalcifica y trata las caries dentales que pueda tener. En este ejercicio, asumiremos que la probabilidad de caries, en un intervalo de tiempo dado, es la misma para todos los dientes.

1.¿Qué podemos decir acerca de la probabilidad de que tenga exactamente un diente con caries durante su próximo chequeo que realizará exactamente un año después (365 días)?

$m=f(1/32)=32\times {\frac {1}{32}}\left(1-{\frac {1}{32}}\right)^{31}=\left({\frac {31}{32}}\right)^{31}$

$\left({\frac {31}{32}}\right)^{31}\simeq 0,373734$

2. ¿Qué sucede con esta probabilidad si, en lugar de verificarla un año después, lo hace dos años después?

$P\in \left[0;{\frac {37}{99}}\right]$

3. ¿Es probable que en cada revisión anual, tenga exactamente un diente con caries durante un período de cinco años?

${\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}={\binom {5}{5}}P^{5}(1-P)^{0}=P^{5}$

Como P es inferior a 37/99, la probabilidad en cada visita será que haya un diente con caries en 5 años muy inferior al 1% :

$\left({\frac {37}{99}}\right)^{5}={\frac {69343957}{9509900499}}\simeq 0,0073$

Ley de Poisson

Una variable aleatoria discreta también se puede representar con la ley de Poisson si :

$p(k)=\mathbb {P} (X=k)=\mathrm {e} ^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}$

Donde $\lambda$ es un numero real estrictamente positivo llamado parámetro de la ley

Si n ($n>30$) y para p vecino de 0 ($p\leq 0,1$) tal que $np(1-p)\leq 10$, se puede aproximar la ley binomial a la ley de Poisson $P(\lambda )$, Donde $\lambda =np$.

Entonces :

$p(X=k)\approx {\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }$