Física general/Estática

Representación de los distintos resultados que puede dar una combinación de fuerzas sobre un objeto en función de la resultante y del momento. En este tema estudiaremos la parte de estática.

La estática estudia lo que hace que los cuerpos se mantengan quietos, sin girar ni moverse. Para ello es necesario conocerse las dos reglas del equilibrio: resultante 0 y momento o par 0. Todo sistema de fuerzas (y por ello todo sistema de vectores deslizantes) se puede reducir a una resultante y un par (desplazamiento con rotación), una resultante (desplazamiento sin rotación), un par (rotación) o una resultante nula y un par nulo (estático). La estática solo se encarga de este último, el de resultante y par nulos, y esa será la ley más aplicada. Para calcular la resultante se hace el sumatorio de fuerzas, y para calcular el momento o par, se busca un punto (generalmente el que anule más fuerzas) y se calcula el momento allí (el momento es la fuerza por la distancia al punto donde buscamos el momento).

El par y el momento son la misma cosa. Un par es un grupo de dos vectores de módulo idéntico, dirección idéntica, sentido opuesto (es decir, son iguales salvo que uno es positivo y el otro negativo), y por tanto tienen resultante nula. Lo que los hace especiales es que son aplicados en puntos distintos haciendo que los cuerpos giren.

Lo representamos con la M con subíndice el punto donde la vayamos a aplicar.

Por lo general si un punto de un sólido no tiene momento implica que el resto del sólido tampoco tiene momento y, por tanto, no gira.

¿Por qué interesa estudiar la estática?

Al consturir estructuras nos interesa que estas permanezcan inmóviles ante cambios en cargas y pesos (imaginémonos una grúa de construcción). La estática es la parte de la física que estudia el comportamiento de los objetos en las condiciones para que no se muevan. Por lo general estaremos viendo situaciones límite (es decir cuanto puede aguantar una estructura hasta que empieze a volcarse, es decir, hasta que aparezca momento) o calcularemos valores que tendrán que ver con la resistencia del material (sea el momento flector o el esfuerzo cortante).

Estática de Barras

Diagrama básico de una barra. Sea L la longitud de la barra (longitud), π₀ la densidad de peso lineal de la barra (fuerza / longitud), P el peso total vectorial de la barra (fuerza), y V_A y V_B las resultantes en los puntos A y B respectivamente

El esquema de la barra simple se compone de, al menos, dos apoyos (del tipo que sean) y una barra con una densidad lineal de peso que llamaremos π₀ (N/m), con una longitud L (m), y con un peso total P (N).

El peso total de la barra se halla multiplicando dicha densidad por la longitud: π₀×L=P Dicho peso P lo dirigimos hacia abajo y siempre en el centro de la barra. Si en algún momento tuviéramos que partir la barra, el peso de dicha porción se situaría en el centro de dicha porción. Para hallar las respuestas de los apoyos usamos las siguientes ecuaciones (nótese que se están usando módulos,no valores vectoriales, ya que para simplificar se separan los ejes x e y):

$\sum _{\forall F_{y}}F_{y}=0\;\rightarrow \;V_{a}+V_{b}-P=0$
$\sum _{\forall F_{x}}F_{x}=0$
$M_{A}\;\rightarrow \;{\color {Gray}V_{A}*0}-V_{B}*L+P*{\tfrac {L}{2}}=0$
$M_{A}\;\rightarrow \;{\color {Gray}V_{B}*0}-V_{A}*L+P*{\tfrac {L}{2}}=0$

Dado que sólo tenemos dos incógnitas (V_A y V_B) sólo necesitamos dos de estas ecuaciones. Para este caso en especial ambas resultantes son iguales a el peso partido de la mitad (sacadas de las ecuaciones 3 y 4).

V_{A}=V_{B}={\frac {P}{2}}

Esfuerzo cortante

El esfuerzo cortante es una fuerza que tiende a romper las barras (esfuerzo es lo mismo que fuerza). Cada estructura y material soportan un determinado esfuerzo cortante y si se supera dicha fuerza, se parten. Por eso es útil saber como calcularlo. Lo representaremos con una T.

Para poder calcular el esfuerzo cortante en un punto a una distancia x de A, tenemos que “romper” la barra como se indica en la figura (es decir por el punto donde lo queremos calcular), desechamos una de las mitades y buscamos el equilibiro. Para que esté el sistema en equilibrio de fuerzas (no de momentos) hemos de añadir una fuerza T (en el punto de corte) que es el esfuerzo cortante: $\sum _{\forall F_{y}}F_{y}=0\;\rightarrow \;V_{A}-\underbrace {P\prime } _{\pi _{0}*x}+T=0\;\rightarrow \;T(x)=\pi _{0}*x-V_{A}$

Da igual desde donde se calcule el esfuerzo cortante, si desde A o desde B. El esfuerzo cortante a x metros de A es igual al esfuerzo cortante a L-x metros de B (salvo por el signo). Recuérdese que si el esfuerzo cortante es negativo entonces es que apunta en dirección contraria a la del dibujo.

El esfuerzo cortante es una recta de pendiente π₀ y que corta con el eje y en - V_A. Sus máximos (en módulo) están, por tanto, en los extremos, siendo 0 justo en el centro de la barra (en el centro de la barra no se romperá).

Quizás veamos algo extraño en esto. Hemos dicho que en el centro de la barra no hay esfuerzo cortante, pero si cojemos un palo y lo intentamos doblar se parte. Esto no es esfuerzo cortante, sino una causa del momento flector.

Momento flector

El momento flector es, por así decirlo, cuanto se doblaría la barra al estar en una situación parecida. Otra vez, tenemos que partir la barra en el lugar donde queramos hallar el momento flector, pero, a diferencia de antes, el momento flector será igual por los dos lados únicamente en módulo, es decir, por un lado será positivo y por el otro negativo. Esto es porque se dobla en una dirección por un lado y en la opuesta por el otro (para formar la curva, de otro modo la barra rotaría). Lo representaremos con una M y un subíndice indicando el punto sobre el que se calcula, M_P.

Es tan simple como calcular el momento en el punto donde hemos partido la barra:

$M_{F}=V_{A}*x-\underbrace {P\prime } _{\pi _{0}*x}*{\frac {x}{2}}\;\rightarrow \;M_{F}(x)=V_{A}*x-\pi _{0}*{\frac {x^{2}}{2}}$

Si derivamos esta ecuación (que es una especie de parábola) encontramos los mínimos (y un detalle especial):

${\frac {dM(x)}{dx}}=V_{A}-\pi _{0}*x=-T(x)$

Por tanto, el momento flector es máximo en el punto en el que el esfuerzo cortante es 0, es decir en el centro, y mínimo en los extremos. Esto indica que una barra se doblará antes por el cento que por los extremos.

El momento flector nos sirve para comprobar que la barra soportará pesos o cargas sin doblarse (lo cual es una caracterísitica del material y/o la estructura). Por lo general no nos interesará que una barra se doble porque se deforma la estructura (y la estrucutra tiene su propósito) y porque las barras dobladas son más débiles en la parte que está estirada y se pueden romper con más facilidad.

Barra con un peso

Al añadir un peso a la barra sólo añadimos una fuerza más.

El caso de que una barra esté incluida con un peso es exactamente igual que sin el peso, únicamente hay que añadir el peso a los cálculos.

Para hallar las resultantes de los apoyos, debemos usar cualquiera de las dos ecuaciones vistas para la barra simple (pondremos todas para mayor claridad), con el añadido de que hay que incluir el peso Q en la ecuación de las resultantes (será negativo ya que va hacia abajo), y el momento de dicha masa Q (que tendrá la misma dirección que el peso de la barra). $\sum F=0\;\rightarrow \;V_{A}+V_{B}-P-Q=0\;\rightarrow \;V_{A}+V_{B}=P+Q$
$M_{A}=0\;\rightarrow \;{\color {Gray}V_{A}*0}-V_{B}*L+P*{\frac {L}{2}}+Q*a=0$
$M_{B}=0\;\rightarrow \;{\color {Gray}V_{B}*0}+V_{A}*L-P*{\frac {L}{2}}-Q+(L-a)=0$

$V_{B}={\frac {P}{2}}+Q*{\frac {a}{L}};\;V_{B}={\frac {P}{2}}+Q*\left(1-{\frac {a}{L}}\right)$

El momento flector y el esfuerzo cortante no variarán mucho de las fórmulas anteriormente dadas, pero tienen un pequeño inconveniente. Si la x donde queremos calcularlo es menor que a (que es la distancia a la que se encuentra la carga Q), entonces Q no aparece en la ecuación (pero si sus efectos en las resultantes). Si x es mayor que a, entonces tendremos que incluir la carga en la ecuación. Por tanto, tenemos una función por partes tanto para el esfuerzo cortante, como para el momento flector.

El esfuerzo cortante se calcula de la siguiente manera:
$T(x)={\begin{cases}\pi _{0}*x-V_{A}&{\mbox{si }}x<a\\\pi _{0}*x+Q-V_{A}&{\mbox{si }}x>=a\end{cases}}$ Se puede observar que el esfuerzo cortante tiene una discontinuidad.

El momento flector no tiene más dificultad:
$M_{F}(x)={\begin{cases}V_{A}*x-\underbrace {P\prime } _{\pi _{0}*x}*{\frac {x}{2}}&{\mbox{si }}x\leq a\\V_{A}*x-\underbrace {P\prime } _{\pi _{0}*x}*{\frac {x}{2}}+Q*(x-a)&{\mbox{si }}x\geq a\end{cases}}$

$M_{F}(x)={\begin{cases}V_{A}*x-\pi _{0}*{\frac {x^{2}}{2}}&{\mbox{si }}x\leq a\\V_{A}*x-\pi _{0}*{\frac {x^{2}}{2}}+Q*(x-a)&{\mbox{si }}x\geq a\end{cases}}$ En el momento no existen discontinuidades.