Física general/Análisis dimensional

En muchas ocasiones no llegamos a recordar una fórmula, en otras simplemente no la sabemos. El análisis dimensional y el Teorema de Π pueden ayudarnos a resolver estos problemas.

El análisis dimensional se basa en que cosas iguales tienen unidades iguales. Puede servir para lo siguiente:

• Nos puede servir para calcular la equivalencia de una unidad con otras

$F=M\cdot a\;{\begin{cases}[F]=N&{\mbox{ newtons }}\\{\big [}M{\big ]}=kg&{\mbox{ kilogramos }}\\{\big [}a{\big ]}={\frac {m}{s^{2}}}&{\mbox{ metros sobre segundo cuadrado }}\end{cases}}\;\rightarrow \;N={\frac {kg\cdot m}{s^{2}}}$

Lo cual es bastante útil para buscar relacciones entre unidades. Por ejemplo, los julios (J) son newton por metro, por lo que se puede expresar como la masa por la velocidad al cuadrado (por una constante).

• Nos permite hayar fórmulas que relacionen entidades físicas (con la salvedad de una constante que se deberá determinar de forma experimental).

Teorema de Π

El enunciado del Teorema de Π es el siguiente: Si tenemos una ecuación física (o ley física) en la que intervienen N variables físicas, y estas se expresan en términos de K magnitudes físicas básicas, entonces la ecuación original es equivalente a una ecuación con una serie de P = N - K números adimensionales (es decir, sin unidades) constituidos por las variables originales.

Vamos a explicar que significa con un ejemplo:

Ejemplo 1: péndulo simple

Imaginemos que queremos hallar la ecuación del periodo del péndulo, y nos imaginamos que este debe depender de la gravedad, la masa del péndulo y la longitud del cable del péndulo. Es mejor separar la gravedad y la masa en vez de poner directamente el peso ya que el teorema funciona mejor con magnitudes básicas. El Newton es una magnitud derivada ya que es masa por aceleración.

Entonces tenemos que las variables de las que puede depender el resultado, junto con el resultado: ${\big [}g{\big ]}={\tfrac {m}{s^{2}}}=m\cdot s^{-2};\quad {\big [}M{\big ]}=kg;\quad {\big [}l{\big ]}=m;\quad {\big [}T{\big ]}=s$

Estos datos nos permiten realizar una tabla de exponentes, es decir, una tabla en la cual se muestren las dimensiones de las variables (columnas) en función de las unidades establecidas (filas). Este paso no es necesario, pero ayuda a clarificar más tarde.

${\begin{array}{|c||c|c|c|c|}\hline &g&M&l&T\\\hline m&1&0&1&0\\s&-2&0&0&1\\kg&0&1&0&0\\\hline \end{array}}$

Nuestro objetivo es que, en una combinación de exponentes de las variables previamente establecidas, se consiga su adimensionalidad, es decir, que, en la siguiente ecuación:$\Pi \;=\;g^{\alpha }\cdot M^{\beta }\cdot l^{\gamma }\cdot T^{\delta }$

Π no tenga dimensiones.

Escribir eso es lo mismo que (siguiendo las conversiones a unidades): $\pi \;=\;m^{\alpha +\gamma }\cdot s^{-2\beta +\delta }\cdot kg^{\beta }$

Entonces, si queremos que π (y por consecuencia, Π) sean adimensionales, tenemos que satisfacer el siguiente sistema de ecuaciones:

$\left.{\begin{matrix}\alpha +\gamma =0\\\delta -2\alpha =0\\\beta =0\end{matrix}}\right\}$

De aquí sacamos dos conclusiones:

• La masa (que tenía el exponente β) no interviene en el periodo del péndulo.
• Tenemos un sistema indeterminado de 2 ecuaciones (la última ya la hemos tomado encuenta) con 3 incógnitas. Esto es normal.

Para resolverlo atribuimos a una de las variables un valor (el que queramos). Para facilitar el despeje de el periodo vamos a hacer que su exponente (δ) sea la unidad:

$\left.{\begin{matrix}\alpha +\gamma =0\\\delta -2\alpha =0\\{\color {Gray}\delta =1}\end{matrix}}\right\}\;\rightarrow \;\left.{\begin{matrix}\alpha ={\tfrac {1}{2}}\\\gamma =-{\tfrac {1}{2}}\\{\color {Gray}\delta =1}\end{matrix}}\right\}$

Y esto nos indica que: $\Pi \;=\;g^{\tfrac {1}{2}}\cdot l^{-{\tfrac {1}{2}}}\cdot T$, y Π es a lo que solemos llamar constante adimensional.

Finalmente: $T=\Pi \cdot {\sqrt {\frac {l}{g}}}$, donde Π es una constante que se determina por experimentación (vale 2π)