Física Biológica PCLF/estructura química de enlaces

INTRODUCCIÓN

Para entender mejor los aspectos de los enlaces uno se ve en la necesidad de entender dos tipos de aspectos, en primer es entender como se están sobrelapando los orbitales y el otro es tener en cuenta ciertas propiedades cuánticas como lo son la propiedad intrínseca del electrón denominado spin y por lo cual el principio de exclusión de Pauli establece que el numero máximo de electrones por orbital es dos y, si hay dos electrones en un mismo orbital entonces sus espines deben estar apareados, por lo que se establece que

dos electrones no pueden tener iguales sus cuatro números cuánticos

Entonces el principio de exclusión de Pauli permite que dos electrones compartan un mismo estado de orbital de manera que puedan superar la fuerza electrostática que se genera. Por lo que en el caso de un enlace covalente adicionalmente el sistema de los dos electrones toda la función de onda se comporta como si fueran un boson y pierde la propiedad de fermion ya que los electrones se acoplan de manera que generan un boson de manera que el estado que genera los dos electrones resulta siendo de espín cero. Entonces los espines se acoplan de manera que se tenga espín para arriba y espín para debajo de manera que el espín resultante sea cero. Resumiendo, una mejor forma de comprender la física de los enlaces químicos implica tener un mejor acercamiento a la ecuación de Schrödinger

ECUACION DE SCHRODINGER

La ecuación de Schrödinger recibe su nombre en honor a Erwin Schrödinger(1887-1961), físico y premio Nobel austriaco, conocido sobre todo por sus estudios matemáticos de la mecánica ondulatoria y sus aplicaciones a la estructura atómica. Esta es:

(1) ${\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+V\psi =E\psi$

La interpretación que se leda es que esta me esta representando entre comillas para el primer termino del derecho la energía cinética de la partícula y el segundo termino del mismo lado su energía potencia y el lado izquierdo es la energía total o hablar de que este termino seria el valor esperado de energía para el sistema descrito por ψ. Entonces definimos este tipo de operador.

(2) ${\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+V={\widehat {E}}$

El cual es un operador y representa lo que le ocurre a un sistema por si se le mide su energía cinética. El cual se puede ver como el efecto que genero sobre la onda cuando mido ya que en mecánica cuántica la medición y el observador están totalmente relacionados. Por lo que la ecuación schrödinger es una manera de a ser una cuantizacion. Ahora bien siguiendo en el contexto es necesario hablar de antisimetrizar para poder garantizar que se cumpla el principio de exclusión de Pauli, esto se lleva acabo teniendo suponiendo que se tiene el estado de dos partículas y se quiere mirar que pasa con la superposición de estos dos estados

(3) $\psi _{1}(r_{1})\psi _{2}(r_{2})$

Entonces la antisimetrizacion es

(4) ${\frac {1}{\sqrt {2}}}(\psi _{1}(r_{1})\psi _{2}(r_{2})-\psi _{1}(r_{2})\psi _{2}(r_{1}))$

Por lo que si hay dos estados que tienen la misma energía la función de onda resultante de la antisimetrizacion debería ser cero, entonces esto es como pensar que se tienen dos partículas idénticas y esto es pensar que las funciones de onda son idénticas y esto no seda por el principio de exclusión de Pauli.

Entonces si se tiene el siguiente arreglo de tres partículas (FIGURA 1)

Figura 1. Esquema del elance covalente de un $H_{2}^{+}$

El cual es el protón de un hidrogeno el protón de otro y un electrón por lo que con un electrón se presenta desdoblamiento y el siguiente es una superposición de manera que también se espera una clase de desdoblamiento. Por lo que el operador tendría la siguiente forma

(5) ${\frac {-\hbar ^{2}\nabla ^{2}}{2m}}-{\frac {Ke^{2}}{r_{a}}}-{\frac {Ke^{2}}{r_{b}}}+{\frac {Ke^{2}}{R}}=E$

Ya que se piensa que se esta trabajando en tres dimensiones entonces se tiene el operador nabla cuadrado ya que se tendría energía cinética en x, y, z. por lo que obtengo la energía que tiene todo el sistema dada por la energía cinética y potencial que vendrá dada por las diferentes cargas dadas por los subíndices y que también se tiene en cuenta la energía de acercar los dos núcleos (protones) claro esta tratando estas partículas como cargas puntuales y este operador tiene esa forma ya que si yo tuviera estos dos sistemas (Figura 2) por separado y los uniera:

Figura 2. Esquema de dos sistemas por separado

obtendría una energía mucho mayor

(6) ${\widehat {H}}_{a}={\frac {-\hbar ^{2}\nabla ^{2}}{2m}}-{\frac {Ke^{2}}{r_{a}}}$

${\widehat {H}}_{b}={\frac {-\hbar ^{2}\nabla ^{2}}{2m}}-{\frac {Ke^{2}}{r_{b}}}$

Ya que le estoy dando mayor posibilidad de energía cinética ya que se tendría el doble de estas posibilidades y aun cuando desprecie la energía de interacción entre los núcleos y todo esto pensado desde el punto de vista electrostático. Entonces la forma en la que se puede analizar el problema mostrado es una forma supervariacional y el sistema en el que se encuentra podría ser una superposición del tipo de sistemas de la figura 2. Y la función de onda resultante tomaría la forma siguiente.

$\psi =C_{1}\psi _{a}+C_{2}\psi _{b}$

Entonces en principio lo que se desea es medir la energía total con ese planteamiento. El problema es que se desconocen los valores de $C_{1}$ y $C_{2}$ pero esta energía esta dada en parte de de este termino

$\int \psi ^{*}{\widehat {H}}\psi dx$

Entonces se tiene que dar la condición de normalización para el siguiente producto de la función de onda total ya que cada función de onda por separado da uno.

$\int \psi ^{2}d\tau =1$

Y no se espera que esto

$\int (C_{1}\psi _{a}+C_{2}\psi _{b})^{*}(C_{1}\psi _{a}+C_{2}\psi _{b})dx$

De cero ya que si se realiza el producto se espera solamente términos cuadrados y la única forma de que diera cero seria que los coeficientes c1 y c2 fueran cero pero esto será trivial y no llevaría a la solución que se quiere. Si los dos estados fueran ortogonales el resultado seria muy sencillo y esta dado por

$\langle E\rangle ={\frac {\int \psi ^{*}|H|\psi dx}{\int \psi {*\psi dx}}}$

Y eso seria muy fácil, pero no se tiene seguridad de esta ortogonalidad.

FALTA CONECTORES A LAS SIGUIENTES TEMATICA, APARECEN CASI QUE DE FORMA EXPONTANEA

Bibliografía

Harald Ibach, Solid state physics : an introduction to principles of materials science, segunda edición, Ed. Springer-Verlag.
Nicolás Afanador, Apuntes de clase curso de Biofísica, Universidad Distrital Francisco José de Caldas.

Figura Equipo Realizador