Diferencia entre revisiones de «Matemática II(UNI)»

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→‎Axiomas: + axioma dependiente -> propiedad.
(Rv. Eliminación de artículos necesarios para el título. Comentarios que irrumpen en la lectura y comprensión del ángulo. Uso de referencias para introducir comentarios arbitrarios.)
Etiqueta: Deshacer
(→‎Axiomas: + axioma dependiente -> propiedad.)
 
 
== Axiomas ==
#Dos rectas si se cortan, lo hacen en un único punto.
#Por dos puntos diferentes pasa una única recta.
#La línea recta tiene la longitud más corta entre dos puntos.
#Dado un punto sobre una recta y la medida de un ángulo, entonces el segundo lado del ángulo quedan determidadosdeterminados de forma única.
 
De estos axiomas se derivan las siguientes propiedades interesantes a nivel investigativo para la sección de congruencias. En resumen se persigue garantizar que un triángulo construido con los mismos datos sea el mismo.
{|
| valign="top" |1.
| Si dos rectas se cortan:
{| class="mw-collapsible wikitable {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed|}}" width="100%" style="text-align:left; background-color:#fff;"
#Dos| rectasalign="left" si se cortan,| lo hacen en un único punto.
| align="right" width="170" | '''Demostración:''' 
|-
| colspan="2" |Se demuestran con el <math>1^{er}</math> axioma, ya que si se cortan en más de un punto implica se habla de una única recta. Como por hipótesis son dos rectas, esto quiere decir que o bien no se cortan y se llamarán '''paralelas''' o bien se cortan en un único punto y se llamarán '''secantes'''.
|}
|-
| valign="top" |2.
| La desigualdad triangular:<ref>Para [[w:Espacio métrico|espacios métricos]] la [[w:Desigualdad triangular|desigualdad triangular]] no es una desigualdad estricta.</ref>
{| class="mw-collapsible wikitable {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed|}}" width="100%" style="text-align:left; background-color:#fff;"
| align="right" width="170" | '''Demostración:'''&nbsp;
|-
| colspan="2" |Se demuestran con el <math>32^{erdo}</math> axioma de forma trivial, de hecho son equivalentes.
|}
|-
| valign="top" |23.
| La desigualdades:
{| class="mw-collapsible wikitable {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed|}}" width="100%" style="text-align:left; background-color:#fff;"
</math>
 
Y así se procede para el resto de casos.
|}
|-
| valign="top" |34.
| Dado un triángulo mediante un lado y dos ángulos, entonces:
{| class="mw-collapsible wikitable {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed|}}" width="100%" style="text-align:left; background-color:#fff;"
| align="right" width="170" | '''Demostración:'''&nbsp;
|-
| colspan="2" |Dado cualquier par de ángulos de un triángulo se tiene el valor del tercero(propiedad angular 1), aunque será conocido como ángulo-lado-ángulo(ALA) también podría ser AAL perfectamente.<ref>Las siglas significan '''L'''=Lado y '''A'''=Ángulo, usadas para no repetir las palabras, las principales son ALA, LAL y LLL.</ref>
<gallery>
File:Postulado ALA 0.svg|A.L.A.
File:Postulado ALA 1.svg|A.A.L.
</gallery>
Se toma el segmento dado, y por el <math>43^{toro}</math> axioma, se construyen los ángulos que tiene en los extremos y por elprimera <math>1^{er}</math> axiomapropiedad el nuevo par de lados, si no son paralelos, se cortan en un único vértice que es lo que se buscaba.
|}
|-
| valign="top" |45.
| Dado un triángulo mediante dos lados y el ángulo que forman, entonces:
{| class="mw-collapsible wikitable {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed|}}" width="100%" style="text-align:left; background-color:#fff;"
| align="right" width="170" | '''Demostración:'''&nbsp;
|-
| colspan="2" | Se construye el ángulo con dichos lados y luego aplico el <math>21^{doer}</math> axioma que dice que por los extremos no comunes de los lados solo pasa una única recta que es lo que se buscaba.
 
[[File:Postulado LAL 0.svg|150px|center]]
|}
|-
| valign="top" |56.
| Dado un triángulo, entonces:
{| class="mw-collapsible wikitable {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed|}}" width="100%" style="text-align:left; background-color:#fff;"
| align="right" width="170" | '''Demostración:'''&nbsp;
|-
| colspan="2" | <math>\Rightarrow )</math> Supongamos que se tienen dos lados igulaes, AB=BC, para cualquier ángulo <math>\angle ABC</math>, por la propiedad 45 el triángulo será único. Véase que para probar que <math>\angle BAC = \angle BCA</math> solo tenemos que cosntruir un ángulo sobre el otro para ver que estos coinciden.
 
:Diremos por tanto que ''a lados iguales se oponen ángulos iguales''.
 
<math>\Leftarrow )</math> Supongamos ahora que se tiene dos ángulos iguales <math>\angle BAC = \angle BCA</math>, para cualquier lado <math> \overline{AC}</math>, por la propiedad 34, el triángulo será único. Véase que para probar que AB=BC, solo tendremos que construir, como antes, un ángulo sobre el otro para ver que estos coinciden.
 
:Diremos por tanto que ''a ángulos iguales se oponen lados iguales''.
|}
|-
| valign="top" |67.
| Dado un triángulo por medio de las 3 longitudes de sus lados, entonces:
{| class="mw-collapsible wikitable {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed|}}" width="100%" style="text-align:left; background-color:#fff;"
| align="right" width="170" | '''Demostración:'''&nbsp;
|-
| colspan="2" | Al construir los mismos triángulos, <math>\Delta ABC</math> y <math>\Delta AB'C</math>, a ambos lados del segmento AC, podemos unir con un nuevo segmento los dos vértices B y B' que aparecen, formando dos triángulos de isoscelesisósceles y por tanto en los dos aplico la anterior propiedad 56. Directamente <math>\angle ABC = \angle CB'A</math> y por la propiedad 4 tenemos que el triángulo <math>\Delta ABC</math> tiene el vértice B determinado de forma única.
|}
|}
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