Descomposición en fracciones simples

Una función de la forma f(x)= P(x)/ Q(x) (donde P(x) y Q(x) son polinomios tales que P<Q, puede descomponerse en una suma de fracciones simples, de la siguiente forma:

I- Si el polinomio Q(x) tiene una raíz real simple (llamémosla a₁) o sea, puede escribirse:

Q(x) = (x-a₁)S(x) donde a₁ no es raíz de S(x)(S(a₁)≠ 0), entonces:

P(x)/Q(x) = A₁/(x-a₁) + R(x)/S(x), donde A₁ es un número real.

II- Si el polinomio Q(x) tiene una raíz real múltiple de orden k (llamémosla a₂) o sea, puede escribirse Q(x)= (x-a₂)^kS(x) donde a₂ no es raíz de S(x)(S(a₂)≠0), entonces:

P(x)/Q(x) = A_2k/(x-a₂)^k + A_2k-1/(x-a₂)^k-1 + ... A₂₁/(x-a₂) + R(x)/S(x), donde A_2k, A_2k-1, ..., A₂₁ son números reales.

III- Si el polinomio Q(x) tiene un par de raíces complejas (llamémoslas Z₃= a₃+ib₃ y -Z₃= a₃-ib₃) o sea, puede escribirse Q(x)= ((x-a₃)² +b₃²)S(x), entonces:

P(x)/Q(x) = A₃x+B₃/((x-a₁)²+b₃²) + R(x)/S(x), donde A₃ y B₃ son números reales.

IV- Si el polinomio Q(x) tiene raíces complejas múltiples, se combinan los casos II y III.

Para descomponer en fracciones simples se debe revisar Factorización de polinomios.