Curso de Álgebra Lineal

1. Noción de Cuerpo

Definición: Diremos que $F\neq \emptyset$ es un cuerpo si en $F$ son definidas dos operaciones, {+, ·}, conmutativas y asociativas tales que:

+ cumple con:

a) $(\exists 0_{F}\in F):(\forall x\in F),0_{F}+x=x+0_{F}=x$

b) $(\forall x\in F),(\exists (-x)\in F):x+(-x)=0_{F}$

· cumple con:

a) $(\exists 1_{F}\in F):(\forall x\in F)1_{F}\cdot x=x\cdot 1_{F}=x$

b) $(\forall x\in F,x\neq 0)\exists (x)^{-1}\in F:x\cdot x^{-1}=1_{F}$

Además, $(\forall x_{1},x_{2},x_{3}\in F)x_{1}\cdot (x_{2}+x_{3})=x_{1}\cdot x_{2}+x_{1}\cdot x_{3}$

2. Espacios Vectoriales

Sea V un conjunto de vectores y F un cuerpo. Sean $x=(x_{1},x_{2},...,x_{n})\,\,y=(y_{1},y_{2},...,y_{n})$ dos vectores del conjunto V. Sobre el conjunto de vectores, podemos definir operaciones de suma y ponderación por escalar, de la siguiente manera:

$x+y=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},...,x_{n}+y_{n})\in V$

Sea $\lambda \in F$: $\lambda x=\lambda (x_{1},x_{2},...,x_{n})=(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})\in V$

Definición:

Sea $V\neq \emptyset$ un conjunto de vectores y F un cuerpo. Diremos que V es un Espacio Vectorial sobre el cuerpo F, si se pueden definir en V operaciones {+, ·} tales que:

$+:V\times V\to V$

$(x,y)\to x+y$

Con las siguientes propiedades:

a) $(\forall v_{1},v_{2},v_{3}\in V),\,(v_{1}+v_{2})+v_{3}=v_{1}+(v_{2}+v_{3})$ (asociatividad)

b) $(\forall v_{1},v_{2}\in V),\,v_{1}+v_{2}=v_{2}+v_{1}$ (conmutatividad)

c) $(\exists 0\in V):(\forall v\in V),0+v=v+0=v$ (elemento neutro)

d) $(\forall v\in V),(\exists (-v)\in V):v+(-v)=0$ (elemento nulo)

$\cdot :F\times V\to V$

$(\lambda ,y)\to \lambda y$

Con las siguientes propiedades:

a) $(\forall \lambda \in F)(\forall x,y\in V)\lambda (x+y)=\lambda x+\lambda y$

b) $(\forall x\in V),0\cdot x=0$

c) $(\forall x\in V),1\cdot x=x$