Desigualdades

Inecuaciones

Si tomamos una inecuación que involucre el valor absoluto, tenemos alguna de las dos situaciones siguientes:

$|a|\leq b\iff -b\leq a\leq b$
$|a|\geq b\iff a\leq -b\vee b\leq a$

La primera inecuación se cumple cuando tomamos un número a cuyo valor absoluto sea menor o igual a b. Por la propiedad de simetría y sin importar el signo de a, a la derecha de la recta el valor máximo de a es b y del lado izquierdo el valor máximo es -b. Todos los números contenidos entre -b y b cumplen esta propiedad por la misma razón.

En la segunda inecuación tenemos que el valor absoluto de a es mayor o igual a b. Al igual que en el caso anterior, los valores donde se cumple la igualdad son b y -b. Los puntos donde es mayor son:

Si a>0 entonces |a|=a y por lo tanto b<a
Si a<0 entonces |a|=-a y por lo tanto -a>b, multiplicando por (-1) tenemos a<-b

Como a puede ser cualquier número, se debe cumplir una de las dos condiciones anteriores y se puede decir que se cumple b<a o se cumple a<-b, como dice la inecuación.

Desigualdad del triángulo

Es la desigualdad más importante del valor absoluto, ya que se usa en la mayoría de las aplicaciones de esta función donde intervienen desigualdades.

Para cualquiera dos números a y b se cumple: $|a+b|\leq |a|+|b|$

Demostración
Haciendo uso de las propiedades del valor absoluto, es posible escribir: $-\|a\|\leq a\leq \|a\|$ $-\|b\|\leq b\leq \|b\|$ Sumando ambas inecuaciones: $-(\|a\|+\|b\|)\leq a+b\leq \|a\|+\|b\|$ A su vez, usando la propiedad de valor absoluto $\|a\|\leq b$ si y solo si $-b\leq a\leq b$ en la línea de arriba queda: $\|a+b\|\leq \|a\|+\|b\|$

Usos de la desigualdad del triángulo

Cualquier lado de un triángulo es menor a la suma de los otros dos.