Cálculo y análisis matemático/Tipos de funciones/Función inyectiva

En matemáticas, una función $f\colon X\to Y$ es inyectiva si a elementos distintos del conjunto $X$ (dominio) les corresponden elementos distintos en el conjunto $Y$ (codominio) de $f$. Es decir, cada elemento del conjunto Y tiene a lo sumo una preimagen en X, o, lo que es lo mismo, en el conjunto X no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen.

Ejemplo de función inyectiva.

Así, por ejemplo, la función de números reales $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$, dada por $f(x)=x^{2}$ no es inyectiva, puesto que el valor 4 puede obtenerse como $f(2)$ y $f(-2)$. Pero si el dominio se restringe a los números positivos, obteniendo así una nueva función $g:\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ^{+}$ , entonces sí se obtiene una función inyectiva.

Definición formal

• De manera más precisa, la

función $f:X\to Y$ es inyectiva si, sólo si $a,b$ son elementos de $X$ tales que,si $f(a)=f(b)$, entonces $a=b$.

• O equivalentemente , la función $f:X\to Y$ es inyectiva si, sólo

si $a,b$ son elementos diferentes de $X$, entonces $f(a)\neq f(b)$

Simbólicamente,

$\forall \,a,b\in X,\ \ f(a)=f(b)\Rightarrow a=b$

que es equivalente a su contrarrecíproco

$\forall \,a,b\in X,\ \ a\neq b\Rightarrow f(a)\neq f(b)$

Para probar que una función no es inyectiva basta hallar dos valores distintos del dominio, cuyas imágenes en el codominio son iguales.