Cálculo y análisis matemático/Tipos de funciones/Función biyectiva

Ejemplo de función biyectiva de dos conjuntos finitos, donde se puede ver que $|X|=|Y|$.

En matemáticas, una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva; es decir, si todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, y a cada elemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida.

Formalmente, dada una función $f$:

${\begin{array}{rrcl}f:&X&\to &Y\\&x&\to &y=f(x)\end{array}}$

La función es biyectiva si se cumple la siguiente condición:

$\forall y\in Y\;:\quad \exists !\ x\in X\;/\quad f(x)=y$

Es decir, para todo $y$ de $Y$ se cumple que existe un único $x$ de $X$, tal que la función evaluada en $x$ es igual a $y$

Ejemplo

La función:

$f(x)=\alpha x+\beta \,,$ con $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$ y $\alpha \neq 0$

es biyectiva.

Luego, su inversa:

$f^{-1}(x)={\frac {x-\beta }{\alpha }}\,$

Funciones	Inyectiva	No inyectiva
Sobreyectiva	Biyectiva
No sobreyectiva