Cálculo y análisis matemático/Límite de una función/Unicidad del límite

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Problema Unicidad del Límite[edit]

Como se vio en el capítulo anterior, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a x0, y se escribe: para representar

Pero ¿una función f(x) tiene solo un límite L cuando x se acerca a x0? ¿podría tener por ejemplo 2, L y M?

Razonamiento[edit]

Supongamos que una función f(x) tiene dos límites distintos en , esto es: y al mismo tiempo , con L ≠ M.

o en la notación más formal:

y

Por definición de límite, esto significa:

Así, como lo anterior es valido para todo positivo, también es válido para y así:

Considerando = mínimo entre , se tiene que si implica que se y . Así las expresiones anteriores se pueden refundir en:

  • y al mismo tiempo

Pero Así:

Es decir:

Esto es una contradicción, pues si L es distinto a M, debe existir al menos un donde lo anterior no se cumpla