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(a fecha de 15 de abril de 2013)
Problema Unicidad del Límite
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Como se vio en el capítulo anterior, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a x0, y se escribe:
para representar
Pero ¿una función f(x) tiene solo un límite L cuando x se acerca a x0? ¿podría tener por ejemplo 2, L y M?
Supongamos que una función f(x) tiene dos límites distintos en
, esto es:
y al mismo tiempo
, con L ≠ M.
o en la notación más formal:
y
Por definición de límite, esto significa:
![{\displaystyle {\begin{array}{l}{\underset {x\to x_{0}}{\lim }}\,\,f(x)=L\iff \forall \varepsilon >0\ \ \exists \ \delta _{1}>0:0<|x-x_{0}|<\delta _{1}\Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6965d9ac6e98b394b81f96bbee062d28f05ceab1)
![{\displaystyle {\begin{array}{l}{\underset {x\to x_{0}}{\lim }}\,\,f(x)=M\iff \forall \varepsilon >0\ \ \exists \ \delta _{2}>0:0<|x-x_{0}|<\delta _{2}\Rightarrow |f(x)-M|<\varepsilon \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b38a36b9e67bd6a01bf3c8aca020b11497b4f7be)
Así, como lo anterior es valido para todo
positivo, también es válido para
y así:
![{\displaystyle \forall \varepsilon >0\ \ \exists \ \delta _{1}>0:0<|x-x_{0}|<\delta _{1}\Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon /2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f3cfa319ed06100c2e8bc6e77f9d6dd653549e1)
![{\displaystyle \forall \varepsilon >0\ \ \exists \ \delta _{2}>0:0<|x-x_{0}|<\delta _{2}\Rightarrow |f(x)-M|<\varepsilon /2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/962d83ff5087f2ca80ee6355783bcb8abce6362e)
Considerando
= mínimo entre
, se tiene que si
implica que se
y
. Así las expresiones anteriores se pueden refundir en:
y al mismo tiempo ![{\displaystyle 0<|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-M|<\varepsilon /2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef24adcf33f36c3a3cffe1a71e65646b442babe6)
Pero
Así:
![{\displaystyle \forall \varepsilon >0\ \ \exists \ \delta >0:0<|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x)-(L-M)|<=|f(x)-L)|+|(f(x)-M)|<\varepsilon /2+<\varepsilon /2<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d91fc3f77c91c18f08a7a074cc0e405d2c6a3db)
Es decir:
![{\displaystyle \forall \varepsilon >0\ \ \exists \ \delta >0:0<|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |L-M|<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b8ae4e2f2a7a4db2590645e9033ec7726497565)
Esto es una contradicción, pues si L es distinto a M, debe existir al menos un
donde lo anterior no se cumpla