Problema Unicidad del Límite

Como se vio en el capítulo anterior, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a x₀, y se escribe: $\lim _{x\to x_{0}}\,\,f(x)=L$ para representar

${\begin{array}{l}{\underset {x\to x_{0}}{\lim }}\,\,f(x)=L\iff \forall \varepsilon >0\ \ \exists \ \delta >0:0<|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon \end{array}}$

Pero ¿una función f(x) tiene solo un límite L cuando x se acerca a x₀? ¿podría tener por ejemplo 2, L y M?

Razonamiento

Supongamos que una función f(x) tiene dos límites distintos en $x_{0}$ , esto es: $f(x)\approx L{\mbox{ cuando }}x\approx x_{0}$ y al mismo tiempo $f(x)\approx M{\mbox{ cuando }}x\approx x_{0}$ , con L ≠ M.

o en la notación más formal:

$\lim _{x\to x_{0}}\,\,f(x)=L$ y $\lim _{x\to x_{0}}\,\,f(x)=M$

Por definición de límite, esto significa:

${\begin{array}{l}{\underset {x\to x_{0}}{\lim }}\,\,f(x)=L\iff \forall \varepsilon >0\ \ \exists \ \delta _{1}>0:0<|x-x_{0}|<\delta _{1}\Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon \end{array}}$
${\begin{array}{l}{\underset {x\to x_{0}}{\lim }}\,\,f(x)=M\iff \forall \varepsilon >0\ \ \exists \ \delta _{2}>0:0<|x-x_{0}|<\delta _{2}\Rightarrow |f(x)-M|<\varepsilon \end{array}}$

Así, como lo anterior es valido para todo $\varepsilon$ positivo, también es válido para $\varepsilon /2$ y así:

$\forall \varepsilon >0\ \ \exists \ \delta _{1}>0:0<|x-x_{0}|<\delta _{1}\Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon /2$
$\forall \varepsilon >0\ \ \exists \ \delta _{2}>0:0<|x-x_{0}|<\delta _{2}\Rightarrow |f(x)-M|<\varepsilon /2$

Considerando $\delta$ = mínimo entre $delta_{1},delta_{2}$ , se tiene que si $0<|x-x_{0}|<\delta$ implica que se $0<|x-x_{0}|<\delta _{1}$ y $0<|x-x_{0}|<\delta _{2}$ . Así las expresiones anteriores se pueden refundir en:

$\forall \varepsilon >0\ \ \exists \ \delta >0:0<|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon /2$ y al mismo tiempo $0<|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-M|<\varepsilon /2$

Pero $|0-L+M|=|f(x)-f(x)-(L-M)|=|(f(x)-L)-(f(x)-M)|<=|f(x)-L)|+|(f(x)-M)|$ Así:

$\forall \varepsilon >0\ \ \exists \ \delta >0:0<|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x)-(L-M)|<=|f(x)-L)|+|(f(x)-M)|<\varepsilon /2+<\varepsilon /2<\varepsilon$

Es decir:

$\forall \varepsilon >0\ \ \exists \ \delta >0:0<|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |L-M|<\varepsilon$

Esto es una contradicción, pues si L es distinto a M, debe existir al menos un $\varepsilon$ donde lo anterior no se cumpla