Cálculo y análisis matemático/Definición integral de Riemann

Definiciones

Partición

Una partición $P$ de un intervalo cerrado y acotado $[a,b]$ es una función $x:\{0,\dots ,n\}\longrightarrow [a,b]$ tal que $x$ es creciente con $n\geq 2$, $x(0)=a$ y $x(n)=b$, comunmente escribiremos $P=\{x_{o}=a,x_{1},\dots ,x_{n-1},x_{n}=b\}$. El conjunto de todas las particiones del intervalo $[a,b]$ es denotado por ${\mathcal {P}}([a,b])$.

Sumas de Riemman

Sea $f:[a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$ acotada, $P\in {\mathcal {P}}([a,b])$ digamos $P=\{x_{o}=a,x_{1},\dots ,x_{n-1},x_{n}=b\}$, $M_{i}=\sup f([x_{i-1},x_{i}]),i=1,\dots ,n$ e $m_{i}=\inf f([x_{i-1},x_{i}]),i=1,\dots ,n$.

Suma superior

La suma superior de Riemman de la función $f$, asociada a la partición $P$ es $U(P,f)=\sum _{i=1}^{n}M_{i}\Delta x_{i}$ Donde $\Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1},i=1,\dots ,n$

Suma inferior

La suma superior de Riemman de la función $f$, asociada a la partición $P$ es $L(P,f)=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta x_{i}$ Donde $\Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1},i=1,\dots ,n$

Integrales Superiore e Inferior de Riemann

Sea $f:[a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$ acotada definimos:

Integral superior

La integral superior de Riemann de $f$ en $[a,b]$ por: $\int _{a}^{\hat {b}}f=inf\{U(P,f):P\in {\mathcal {P}}([a,b])\}$

Integral inferior

La integral inferior de Riemann de $f$ en $[a,b]$ por: $\int _{a}^{b}f=sup\{L(P,f):P\in {\mathcal {P}}([a,b])\}$

Intregral de Riemann

Diremos que $f:[a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$ acotada, es integrable Riemann en $[a,b]$, si su intregal superior e inferior coinciden, en cuyo caso al valor en común se le llamara la integral de Riemman de $f$ en $[a,b]$ (se escribira $f\in {\mathcal {R}}([a,b])$, para denotar que la función es intregrable Riemann en dicho intervalo), es decir: $inf\{U(P,f):P\in {\mathcal {P}}([a,b])\}=sup\{L(P,f):P\in {\mathcal {P}}([a,b])\}$