Área triangular

El área triangular es sencillamente el área de un triángulo, el área triangular se caracteriza de las otras áreas de figuras planas por que es la única que tiene tantas fórmulas, además de casos particulares de áreas y también que a partir de las áreas se desprenden ecuaciones para hallar su inradio, exradio, circunradio, altura, base , ángulos e incluso lados.

Formulas para hallar el área triángular

Fórmula general para triángulos rectángulos

El área triangular es igual a la mitad del producto resultante entre la base y la altura ´

${\acute {A}}={\frac {1}{2}}bh$

Donde:

b: base

h: altura

Fórmula en función de los lados

Permite hallar el área de cualquier triángulo conociendo la longitud de sus lados (no se necesita conocer la altura). También conocida como Fórmula de Herón.

${\acute {A}}={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$

Donde

s:semiperímetro

$s={\frac {1}{2}}(a+b+c)$

Fórmula en función del circunradio

El área de un triángulo es igual a el producto de sus lados entre en cuádruple de su circunradio

${\acute {A}}={\frac {1}{4R}}abc$

Donde:

R: circunradio.

Fórmula en función del inradio

El área de un triángulo es igual al producto resultante entre el semi-perímetro y el inradio.

${\acute {A}}=sr\,$

Donde: r:inradio

$s={\frac {1}{2}}(a+b+c)$

Fórmula en función del exradio

El área de un triángulo es igual al producto resultante entre el exradio y el semiperímetro menos el lado relativo al exradio.

${\acute {A}}=r_{a}(s-a)=r_{b}(s-b)=r_{c}(s-c)\,$

Donde:

ra, rb, rc: exradios relativos a los lados a,b y c

$s={\frac {1}{2}}(a+b+c)$

Fórmula en función del inradio y de los exradios

El área de un triángulo es igual a la raíz cuadrada del producto resultante entre todos los exradios y el inradio

${\acute {A}}={\sqrt {r\cdot r_{a}\cdot r_{b}\cdot r_{c}}}$

Fórmulas trigonométricas

Fórmula en función de dos lados y el ángulo entre ellos

El área de un triángulo es igual a la mitad del producto resultante entre dos de sus lados por el seno del ángulo que esta entre los dos lados.

${\acute {A}}={\frac {1}{2}}bc\cdot sen(A)={\frac {1}{2}}ac\cdot sen(B)={\frac {1}{2}}ab\cdot sen(C)$

Fórmula en función del circunradio y de los senos de los ángulos del triángulo

El área de un triángulo es igual al producto resultante entre los senos de los ángulos del triángulo por el doble del circunradio al cuadrado.

${\acute {A}}=2\cdot R^{2}\cdot sin(A)\cdot sin(B)\cdot sin(C)\,$

Casos particulares

Triángulo equilátero

El área de un triángulo equilátero es igual al lado al cuadrado por la raíz de tres entre cuatro, también es igual a la altura al cuadrado por la raíz de tres entre tres.

$A={\frac {1}{4}}l^{2}{\sqrt {3}}={\frac {1}{3}}h^{2}{\sqrt {3}}$

Fórmulas para un Triángulo rectángulo

En función de los catetos

En un triángulo rectángulo el área es igual a la mitad del producto de los catetos.

$A={\frac {1}{2}}ac$

Donde:

a,c: catetos A: Area

En función de inradio y el exradio relativo a al hipotenusa

$A=r_{a}\cdot r\,$

Donde:

ra: exradio relativo a la hipotenusa

En función de los exradios relativos a los catetos

$A=r_{b}\cdot r_{c}\,$

Donde:

rb, rc: exradios relativos a los catetos

En función de m y n

$A=m\cdot n\,$

Donde:

m, n: segmentos de la base partidos por la circunferencia inscrita

Teoremas complementarios

Teorema de Poncelet

En un triángulo rectángulo la suma de los catetos es igual a la suma de la hipotenusa con el doble del inradio.

$b+c=a+2r\,$

Teorema de los exradios

La suma de las inversas de los exradios es igual a la inversa del inradio.

${\frac {1}{ra}}+{\frac {1}{rb}}+{\frac {1}{rc}}={\frac {1}{r}}$

Teorema de las alturas

La suma de las inversas de las alturas es igual a la inversa del inradio

${\frac {1}{ha}}+{\frac {1}{hb}}+{\frac {1}{hc}}={\frac {1}{r}}$

Teorema del exradio y las alturas

En todo triángulo se cumple la siguiente relación entre exradios y alturas:

${\frac {1}{hb}}+{\frac {1}{hc}}-{\frac {1}{ha}}={\frac {1}{ra}}$

${\frac {1}{ha}}+{\frac {1}{hc}}-{\frac {1}{hb}}={\frac {1}{rb}}$

${\frac {1}{ha}}+{\frac {1}{hb}}-{\frac {1}{hc}}={\frac {1}{rc}}$

Teorema de Steiner

Para todo triángulo se verifica: $r_{a}+r_{b}+r_{c}-r=4R$