ProgramacionIngenieriaMecanicaUPB:Grupo 1510 07

Integrantes[editar]

Esteban Guerra Giraldo, Estudiante Ingeniería Mecánica
Carlos Alfredo Patiño Mejía, Estudiante Ingeniería Mecánica

Resumen[editar]

En este documento se explica el contenido del software para análisis estadístico para la ingeniería:

Comparación de dos tratamientos
Poblaciones pareadas
Tamaño de la muestra
Ajustes polinomiales
Coeficiente de determinación
Estimación y predicción por intervalo en regresión simple

Introducción[editar]

Existe la necesidad de un software que tenga una interfaz clara y sencilla para resolver problemas de la ingeniería con un análisis estadístico. Un software en el que sus variables sean explicitas, simples, con información suficiente para su uso al 100%; que presente informes gráficos y argumentados de su resultado. En el mercado hay muchos programas para problemas de estadística pero no son claros, con funciones complicadas y comandos de difícil entendimiento que resultan en confusión para el usuario, haciendo que en muchos casos se deban tomar cursos avanzados para el correcto uso de esta herramienta

Marco teórico[editar]

La teoría necesaria para los cálculos y procedimientos en el análisis estadístico para la ingeniería se basan en los apuntes tomados de clase de estadística del profesor Hernán Gómez, profesor de la Universidad Pontificia Bolivariana, y del libro ANÁLISIS Y DISEÑO DE EXPERIMENTOS de Humberto Gutiérrez y Román de la Vara, de aquí se tomarán todas las fórmulas y conceptos necesarios para plantear las soluciones que dará el programa al usuario. Nota: Todo el análisis estadístico para ingeniería se basará en la desviación de t-student que consiste en una distribución cuando se halla el valor de la n(población) y si esta resulta ser menor a 30, en este caso usamos esta distribución:

$P(t_{n}<x)=\int _{-\infty }^{x}t_{n}(u)du$ .

Comparación de dos tratamientos[editar]

Es común comparar dos condiciones diferentes en un proceso, como dos formas diferentes de cultivar, dos formas de dietas; estas comparaciones se pueden hacer respecto a las medias, varianzas, proporciones y demás parámetros. Para estas comparaciones se toman las siguientes comparaciones:

$H_{0}:\mu _{x}=\mu _{y}$ .

$H_{A}:\mu _{x}\neq \mu _{y}$ .

En donde :

$H_{0}$ . : Hipótesis nula

$H_{A}$ : Hipótesis alternativa

$\mu _{x}$ : Valor tomado en una prueba

$\mu _{y}$ : Valor tomado en una prueba

Suponiendo varianzas desconocidas e iguales, se obtiene el t crítico así:

$t_{0}={\frac {{\bar {X}}-{\bar {Y}}}{S_{p}{\sqrt {{\frac {1}{n_{x}}}+{\frac {1}{n_{y}}}}}}}$

En donde :

$S_{x}^{2},S_{y}^{2}$ : Varianzas muestrales de los datos tratados

${\bar {X}}$ : Promedio valores x

${\bar {Y}}$ : Promedio valores y

$S_{p}^{2}={\frac {(n_{x}-1)(S_{x}^{2})+(n_{y}-1)(S_{y}^{2})}{n_{x}+n_{y}-2}}$

Suponiendo varianzas desconocidas y desiguales, se obtiene el t crítico así:

$t_{0}={\frac {{\bar {X}}-{\bar {Y}}}{\sqrt {{\frac {S_{x}^{2}}{n_{x}}}+{\frac {S_{y}^{2}}{n_{y}}}}}}$

Con grados de libertad

$v={\frac {(W_{x}+W_{y})^{2}}{{\frac {W_{x}^{2}}{n_{x}+1}}+{\frac {W_{y}^{2}}{n_{y}+1}}}}-2$

En donde:

$W_{x}={\frac {S_{x}^{2}}{n_{x}}}$

$W_{y}={\frac {S_{y}^{2}}{n_{y}}}$

${\bar {X}}$ : Promedio valores x

${\bar {Y}}$ : Promedio valores y

$S_{x}^{2},S_{y}^{2}$ : Varianzas muestrales datos tratados

Poblaciones pareadas[editar]

Es usado cuando es posible formar pares de observaciones de tal modo que las condiciones de cada par son homogéneas aunque exista diferencia entre los pares.

$H_{0}:\mu _{D}=0$ .

$H_{A}:\mu _{D}\neq 0$ .

$t_{0}={\frac {\bar {d}}{S_{D}/{\sqrt {n}}}}$

En donde:

${\bar {d}}$ : Promedio de las diferencias

$S_{D}$ : Desviación estándar de las diferencias

Tamaño de la muestra[editar]

Para cada experimento se debe implementar algún modelo para definir el tamaño de la muestra.

$n={\frac {2(t_{{\frac {\alpha }{2}},N-k})^{2}\sigma ^{2}}{d_{t}^{2}}}$

En donde:

$d_{t}^{2}$ : Desviación estándar de la diferencia entre las muestras

$\sigma ^{2}$ : Variabilidad intrínseca (variables no controladas)

Ajuste lineal[editar]

Existen modelos de regresión que sólo incluyen una variable independiente y que se aplican cuando se espera o se observa que la relación entre X y Y puede ser modelada por una línea recta.

Coeficiente de determinación $R^{2}$ .[editar]

$R^{2}$ . se interpreta como la variabilidad de los datos (Y)que es explicada por el modelo y se obtiene de la siguiente manera:

$R^{2}={\frac {CM_{TOTAL}-CM_{E}}{CM_{TOTAL}}}$ .

En donde:

$CM_{E}$ . : Cuadrado de una variable

$CM_{TOTAL}={\frac {S_{yy}}{n-1}}$

$CM_{E}={\frac {SC_{E}}{n-2}}$

$SC_{E}=S_{yy}-{\frac {Sxy^{2}}{S_{xx}}}$

$S_{yy}=\sum y_{i}^{2}-{\frac {\sum y_{i}^{2}}{n}}$

$S_{xx}=\sum x_{i}^{2}-{\frac {\sum x_{i}^{2}}{n}}$

$S_{xy}=\sum x_{i}y_{i}-{\frac {\sum x_{i}\sum y_{i}}{n}}$

Estimación y predicción por intervalo en regresión simple.[editar]

Una de las aplicaciones más importantes es un análisis de regresión es hacer estimaciones de la respuesta media para un valor dado $x_{0}$ .; en ocasiones es útil obtener un intervalo de estimación dado por

${\bar {y_{0}}}-t_{{\frac {\alpha }{2}},n-2}{\sqrt {CM_{E}\left[{\frac {1}{n}}\right]\quad +\left[{\frac {({x_{0}-{\bar {x}})}^{2}}{S_{xx}}}\right]\quad }}\leq E\left(y\|x_{o}\right)\leq {\bar {y_{0}}}+t_{{\frac {\alpha }{2}},n-2}{\sqrt {CM_{E}\left[{\frac {1}{n}}\right]\quad +\left[{\frac {({x_{0}-{\bar {x}})}^{2}}{S_{xx}}}\right]\quad }}$ .