ProgramacionIngenieriaMecanicaUPB:Grupo 1510 07

Integrantes

Esteban Guerra Giraldo, Estudiante Ingeniería Mecánica
Carlos Alfredo Patiño Mejía, Estudiante Ingeniería Mecánica

Resumen

En este documento se explica el contenido del software para análisis estadístico para la ingeniería:

Comparación de dos tratamientos
Poblaciones pareadas
Tamaño de la muestra
Ajustes polinomiales
Coeficiente de determinación
Estimación y predicción por intervalo en regresión simple

Introducción

Existe la necesidad de un software que tenga una interfaz clara y sencilla para resolver problemas de la ingeniería con un análisis estadístico. Un software en el que sus variables sean explicitas, simples, con información suficiente para su uso al 100%; que presente informes gráficos y argumentados de su resultado. En el mercado hay muchos programas para problemas de estadística pero no son claros, con funciones complicadas y comandos de difícil entendimiento que resultan en confusión para el usuario, haciendo que en muchos casos se deban tomar cursos avanzados para el correcto uso de esta herramienta

Marco teórico

La teoría necesaria para los cálculos y procedimientos en el análisis estadístico para la ingeniería se basan en los apuntes tomados de clase de estadística del profesor Hernán Gómez, profesor de la Universidad Pontificia Bolivariana, y del libro ANÁLISIS Y DISEÑO DE EXPERIMENTOS de Humberto Gutiérrez y Román de la Vara, de aquí se tomarán todas las fórmulas y conceptos necesarios para plantear las soluciones que dará el programa al usuario. Nota: Todo el análisis estadístico para ingeniería se basará en la desviación de t-student que consiste en una distribución cuando se halla el valor de la n(población) y si esta resulta ser menor a 30, en este caso usamos esta distribución:

$P(t_{n}<x)=\int _{-\infty }^{x}t_{n}(u)du$ .

Comparación de dos tratamientos

Es común comparar dos condiciones diferentes en un proceso, como dos formas diferentes de cultivar, dos formas de dietas; estas comparaciones se pueden hacer respecto a las medias, varianzas, proporciones y demás parámetros. Para estas comparaciones se toman las siguientes comparaciones:

$H_{0}:\mu _{x}=\mu _{y}$ .

$H_{A}:\mu _{x}\neq \mu _{y}$ .

En donde :

$H_{0}$ . : Hipótesis nula

$H_{A}$ : Hipótesis alternativa

$\mu _{x}$ : Valor tomado en una prueba

$\mu _{y}$ : Valor tomado en una prueba

Suponiendo varianzas desconocidas e iguales, se obtiene el t crítico así:

$t_{0}={\frac {{\bar {X}}-{\bar {Y}}}{S_{p}{\sqrt {{\frac {1}{n_{x}}}+{\frac {1}{n_{y}}}}}}}$

En donde :

$S_{x}^{2},S_{y}^{2}$ : Varianzas muestrales de los datos tratados

${\bar {X}}$ : Promedio valores x

${\bar {Y}}$ : Promedio valores y

$S_{p}^{2}={\frac {(n_{x}-1)(S_{x}^{2})+(n_{y}-1)(S_{y}^{2})}{n_{x}+n_{y}-2}}$

Suponiendo varianzas desconocidas y desiguales, se obtiene el t crítico así:

$t_{0}={\frac {{\bar {X}}-{\bar {Y}}}{\sqrt {{\frac {S_{x}^{2}}{n_{x}}}+{\frac {S_{y}^{2}}{n_{y}}}}}}$

Con grados de libertad

$v={\frac {(W_{x}+W_{y})^{2}}{{\frac {W_{x}^{2}}{n_{x}+1}}+{\frac {W_{y}^{2}}{n_{y}+1}}}}-2$

En donde:

$W_{x}={\frac {S_{x}^{2}}{n_{x}}}$

$W_{y}={\frac {S_{y}^{2}}{n_{y}}}$

${\bar {X}}$ : Promedio valores x

${\bar {Y}}$ : Promedio valores y

$S_{x}^{2},S_{y}^{2}$ : Varianzas muestrales datos tratados

Poblaciones pareadas

Es usado cuando es posible formar pares de observaciones de tal modo que las condiciones de cada par son homogéneas aunque exista diferencia entre los pares.

$H_{0}:\mu _{D}=0$ .

$H_{A}:\mu _{D}\neq 0$ .

$t_{0}={\frac {\bar {d}}{S_{D}/{\sqrt {n}}}}$

En donde:

${\bar {d}}$ : Promedio de las diferencias

$S_{D}$ : Desviación estándar de las diferencias

Tamaño de la muestra

Para cada experimento se debe implementar algún modelo para definir el tamaño de la muestra.

$n={\frac {2(t_{{\frac {\alpha }{2}},N-k})^{2}\sigma ^{2}}{d_{t}^{2}}}$

En donde:

$d_{t}^{2}$ : Desviación estándar de la diferencia entre las muestras

$\sigma ^{2}$ : Variabilidad intrínseca (variables no controladas)

Ajuste lineal

Existen modelos de regresión que sólo incluyen una variable independiente y que se aplican cuando se espera o se observa que la relación entre X y Y puede ser modelada por una línea recta.

Coeficiente de determinación $R^{2}$ .

$R^{2}$ . se interpreta como la variabilidad de los datos (Y)que es explicada por el modelo y se obtiene de la siguiente manera:

$R^{2}={\frac {CM_{TOTAL}-CM_{E}}{CM_{TOTAL}}}$ .

En donde:

$CM_{E}$ . : Cuadrado de una variable

$CM_{TOTAL}={\frac {S_{yy}}{n-1}}$

$CM_{E}={\frac {SC_{E}}{n-2}}$

$SC_{E}=S_{yy}-{\frac {Sxy^{2}}{S_{xx}}}$

$S_{yy}=\sum y_{i}^{2}-{\frac {\sum y_{i}^{2}}{n}}$

$S_{xx}=\sum x_{i}^{2}-{\frac {\sum x_{i}^{2}}{n}}$

$S_{xy}=\sum x_{i}y_{i}-{\frac {\sum x_{i}\sum y_{i}}{n}}$

Estimación y predicción por intervalo en regresión simple.

Una de las aplicaciones más importantes es un análisis de regresión es hacer estimaciones de la respuesta media para un valor dado $x_{0}$ .; en ocasiones es útil obtener un intervalo de estimación dado por

${\bar {y_{0}}}-t_{{\frac {\alpha }{2}},n-2}{\sqrt {CM_{E}\left[{\frac {1}{n}}\right]\quad +\left[{\frac {({x_{0}-{\bar {x}})}^{2}}{S_{xx}}}\right]\quad }}\leq E\left(y\|x_{o}\right)\leq {\bar {y_{0}}}+t_{{\frac {\alpha }{2}},n-2}{\sqrt {CM_{E}\left[{\frac {1}{n}}\right]\quad +\left[{\frac {({x_{0}-{\bar {x}})}^{2}}{S_{xx}}}\right]\quad }}$ .