Numeros complejos

$j=\sqrt{-1}$

Modulo de un número complejo: z

Llamemos z a un numero complejo formado por una parte real y una imaginaria

El conjugado de un numero se define como aquel que tiene la misma parte real que z, pero siendo la parte imaginaria de signo contrario: $\underbrace{z^{*}=\overline{z}}_{\begin{smallmatrix} \text{Dos nomenclaturas} \\ \text{para denominar al } \\ \text{conjugado} \end{smallmatrix}}=x-j\cdot y$

A esta forma se la denomina forma binomica.

el modulo de una señal se define como la multiplicación de ese numero por su conjugado

$\left| z \right|=z\cdot z^{*}=\sqrt{(x+jy)\cdot (x-jy})=\sqrt{x^{2}-jxy+jxy-j^{2}y^{2}}\xrightarrow[j^{2}=-1]{}\sqrt{x^{2}+y^{2}}$

A veces, y por simple comodidad se prefiere trabajar con la forma trigonometrica en vez de con la forma binomica:

$\begin{align} & z=\underbrace{x+j\cdot y}_{\text{forma binomica}}=\underbrace{\rho \left( \cos \theta +j\cdot \sin \theta \right)}_{\text{forma trigonometrica}}=\underbrace{\rho \cdot e^{j\theta }}_{\text{forma exponencial}} \\ & \left\{ \begin{align} & x=\rho \cdot \cos \theta \\ & y=\rho \cdot \sin \theta \\ \end{align} \right. \\ & \rho =\left| z \right|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\xrightarrow[\text{debido a}]{}\sqrt{\left( \rho \cos \theta \right)^{2}+\left( \rho \sin \theta \right)^{2}}=\sqrt{\rho ^{2}\underbrace{\left( \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta \right)}_{\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1}}=\rho \\ & \tan \theta =\frac{y}{x} \\ & Ej. \\ & z=-1+j\to \rho =\sqrt{(-1)^{2}+1^{2}}=\sqrt{2} \\ & \tan \theta =\frac{1}{-1}=-1\to \theta =\arctan (-1)={}^{3\pi }\!\!\diagup\!\!{}_{4}\;,{}^{11\pi }\!\!\diagup\!\!{}_{4}\;... \\ & \text{El argumento de z se denomina }\arg (z)=\theta +2n\pi ;n\in \mathbb{N} \\ & \arg (z)\in [-\pi ,\pi ] \\ \end{align}$

No se ha demostrado la igualdad correspondiente a:

$e^{j\theta }=\cos \theta +j\cdot \sin \theta$ Llamada formula de Euler, y será demostrada mas adelante, junto con la serie de Taylor. De la misma manera, y usando las PROPIEDADES DE LOS SENOIDES, tenemos:

$e^{-j\theta }=\underbrace{\cos (-\theta )}_{\text{func}\text{. par}}+j\cdot \underbrace{\sin (-\theta )}_{\text{func}\text{. impar}}=\cos \theta -j\sin \theta$

Periodicidad de la exponencial compleja

Por la relacion de la exponencial compleja y las senoides vista anteriormente, podemos deducir que:

$\begin{align} & z=x+j\cdot y \\ & e^{z+j2\pi }=e^{z}\cdot e^{j2\pi }\xrightarrow[\text{Euler}]{}e^{z}\left( \underbrace{\cos (2\pi )}_{1}+j\underbrace{\sin (2\pi )}_{0} \right)=e^{z} \\ & e^{j2\pi }=1 \\ & \text{Periodica }T=2\pi j\text{ }f(z+T)=f(z),z\in \mathbb{C} \\ \end{align}$

La raiz de un numero complejo

$\begin{align} & \sqrt[n]{z}=w\leftrightarrow w^{n}=z \\ & Ej:\sqrt[4]{1+j}=w\leftrightarrow w^{4}=1+j=\underbrace{\sqrt{2}}_{\text{Abs()}}e^{j\underbrace{{}^{\pi }\!\!\diagup\!\!{}_{4}\;}_{\text{Arg()}}} \\ & \text{Poniendo w en forma polar }w=\rho \cdot e^{j\theta }\to w^{4}=\rho ^{4}\cdot (e^{j\theta })^{4}=\rho ^{4}\cdot e^{j4\theta } \\ & \rho ^{4}=\sqrt{2}\to \rho =\sqrt[4]{\sqrt{2}}=\sqrt[8]{2} \\ & 4\theta ={}^{\pi }\!\!\diagup\!\!{}_{4}\;+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}\to \theta =\frac{{}^{\pi }\!\!\diagup\!\!{}_{4}\;+2k\pi }{4}={}^{\pi }\!\!\diagup\!\!{}_{16}\;+{}^{k\pi }\!\!\diagup\!\!{}_{2}\; \\ & k=0\to \theta ={}^{\pi }\!\!\diagup\!\!{}_{16}\; \\ & k=1\to \theta ={}^{\pi }\!\!\diagup\!\!{}_{16}\;+{}^{\pi }\!\!\diagup\!\!{}_{2}\; \\ & k=2\to \theta ={}^{\pi }\!\!\diagup\!\!{}_{16}\;+\pi \\ & k=3\to \theta ={}^{\pi }\!\!\diagup\!\!{}_{16}\;+{}^{3\pi }\!\!\diagup\!\!{}_{4}\; \\ & k=4\to \theta ={}^{\pi }\!\!\diagup\!\!{}_{16}\;+2\pi \text{ se repite} \\ & \sqrt[n]{\rho \cdot e^{j\theta }}=\sqrt[n]{\rho }\cdot e^{j\left( \frac{\theta +2k\pi }{n} \right)};k=0,1,2...(n-1) \\ \end{align}$