Cálculo de la probabilidad de error para las diferentes modulaciones

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Conceptos previos[editar]

M: Número de estados diferentes

E_{b}: Energía por bit

E_{s}: Energía por símbolo

E_{sc}: Energía por symbol-carrier, por portadora

P_{b}: Probabilidad de error de bit

P_{s}: Probabilidad de error de símbolo

P_{sc}: Probabilidad de error de símbolo-carrier, por portadora

P_{bc}: Probabilidad de error de bit-carrier, por portadora


La relación entre la energía por bit y por símbolo:

\begin{align}
  & k=\log _{2}\left( M \right) \\ 
 & E_{s}=k\cdot E_{b}=\log _{2}\left( M \right)\cdot E_{b} \\ 
\end{align}

Tiene lógica que necesitemos mas energía por símbolo, pues en un solo símbolo podemos transmitir 2,3,4… bits, por lo que la energía necesaria para transmitir un solo bit sería la mitad, un tercio, un cuarto ….

Nuestra modulación digital podemos representarla como:

s_{T}(t)=A_{c}\sum\limits_{k=-\infty }^{\infty }{a_{I_{k}}p\left( t-kT_{s} \right)\cos \left( \omega _{c}t \right)-A_{c}\sum\limits_{k=-\infty }^{\infty }{a_{Q_{k}}p\left( t-kT_{s} \right)\sin \left( \omega _{c}t \right)}}

Al demodular, tendremos bien la señal in-phase o la quadrature. Por ejemplo, al demodular la in-phase:

y_{R}(t)=A_{c}\sum\limits_{k=-\infty }^{\infty }{a_{I_{k}}p\left( t-kT_{s} \right)}

La energía de esta señal a_{I_{k}} ( o de a_{Q_{k}} ) la llamamos E_{sc} . Como la señal in-phase y quadrature son independientes entre ellas, es lógico pensar que, del número total de bits/símbolo de la modulación digital, cada una de ellas nos proporciona la mitad de bits, por lo que: E_{s}=2E_{sc} . Por ejemplo:

Modulación M \log _{2}\left( M \right) (bits) a_{I_{k}} (bits) a_{Q_{k}} (bits)
QPSK 4 2bits 1bit 1bit
16-QAM 16 4bits 2bits 2bits
64-QAM 64 6bits 3bits 3bits


\begin{align}
  & s_{T}(t)=\underbrace{A_{c}\sum\limits_{k=-\infty }^{\infty }{a_{I_{k}}p\left( t-kT_{s} \right)\cos \left( \omega _{c}t \right)}}_{E_{sc_{1}},P_{sc_{1}}}-\underbrace{A_{c}\sum\limits_{k=-\infty }^{\infty }{a_{Q_{k}}p\left( t-kT_{s} \right)\sin \left( \omega _{c}t \right)}}_{E_{sc_{2}},P_{sc_{2}}}\to  \\ 
 & E_{sc_{1}}=E_{sc_{2}} \\ 
 & E_{s_{TOT}}=E_{sc_{1}}+E_{sc_{2}}\to E_{s}=2\cdot E_{sc} \\ 
 & E_{s}=\log _{2}\left( M \right)\cdot E_{b} \\ 
 & E_{sc}\to P_{sc} \\ 
 & E_{s}\to P_{s} \\ 
 & P_{s}=1-\left( 1-P_{sc_{1}} \right)\cdot \left( 1-P_{sc_{2}} \right)=1-\left( 1-P_{sc} \right)^{2} \\ 
 & P_{s}=1-\left( 1-P_{sc} \right)^{2}=1-\left( 1+P_{sc}^{2}-2P_{sc} \right)=2P_{sc}-P_{sc}^{2} \\ 
 & P_{sc}\le 1\to P_{sc}^{2}\ll P_{sc} \\ 
 & P_{s}\approx 2P_{sc} \\ 
 &  \\ 
\end{align}

Relación prob. de error de símbolo y prob. de error de bit[editar]

La relación entre P_{s} y P_{b} es:

P_{s}=1-\left( 1-P_{b} \right)^{k} siendo k=\log _{2}M

Pero, usando codificación Gray, y suponiendo que un error de símbolo solo produce un error de bit, tenemos que:

\begin{align}
  & P_{s}\to 1bit \\ 
 & P_{s}\leftrightarrow P_{b}? \\ 
 & k=\log _{2}M\to  \\ 
 & \frac{P_{s}}{k}\approx P_{b} \\ 
 & P_{s}\approx k\cdot P_{b} \\ 
\end{align}

Podemos verlo intuitivamente: Si un símbolo equivale a dos bits, y hay un error en el símbolo, la probabilidad de error de bit será la mitad que la probabilidad de error del símbolo (suponiendo que el error solo puede ser de un bit), porque el error solo afectará a uno de los bit, siendo el otro correcto. Si el símbolo equivale a 10 bits, la probabilidad de error de bit será 10 veces menor, porque de los 10 bits solo 1 estará corrupto (debido a la asunción que hemos hecho) y los otros nueve correctos.

Para la probabilidad de error de bit por portadora, es análogo:

\begin{align}
  & P_{s}\simeq k\cdot P_{b}\to  \\ 
 & P_{sc}\simeq k\cdot P_{bc} \\ 
\end{align}

Demodulación[editar]

\begin{align}
  & s_{T}(t)=A_{c}\sum\limits_{k=-\infty }^{\infty }{a_{I_{k}}p\left( t-kT_{s} \right)\cos \left( \omega _{c}t \right)-A_{c}\sum\limits_{k=-\infty }^{\infty }{a_{Q_{k}}p\left( t-kT_{s} \right)\sin \left( \omega _{c}t \right)}} \\ 
 & y_{T}(t)=s_{T}(t)+n(t) \\ 
 & y_{R_{1}}(t)=y_{T}(t)\cdot \cos \left( \omega _{c}t \right)=s_{T}(t)\cos \left( \omega _{c}t \right)+n(t)\cos \left( \omega _{c}t \right)\to \left| H_{LPF}\left( f \right) \right|^{2} \\ 
 & y_{R_{1}}(t)=A_{R}\sum\limits_{k=-\infty }^{\infty }{a_{I_{k}}p\left( t-kT_{s} \right)+n_{I}(t)} \\ 
 & y_{R_{2}}(t)=y_{T}(t)\cdot \sin \left( \omega _{c}t \right)=s_{T}(t)\sin \left( \omega _{c}t \right)+n(t)\sin \left( \omega _{c}t \right)\to \left| H_{LPF}\left( f \right) \right|^{2} \\ 
 & y_{R_{2}}(t)=A_{R}\sum\limits_{k=-\infty }^{\infty }{a_{Q_{k}}p\left( t-kT_{s} \right)+n_{Q}(t)} \\ 
\end{align}

ASK[editar]

ASK


Una señal ASK es una codificación unipolar NRZ modulada por un coseno, por lo que al demodular tendremos:

\begin{align}
  & s_{ASK}(t)=A_{c}\sum\limits_{k=-\infty }^{\infty }{a_{k}p\left( t-kT_{s} \right)\cos \left( \omega _{c}t \right)} \\ 
 & y_{R}(t)=A_{R}\underbrace{\sum\limits_{k=-\infty }^{\infty }{a_{k}p\left( t-kT_{s} \right)}}_{s_{I}(t)=s_{NRZ}(t)}+n_{I}(t) \\ 
 & a_{k}=\left\{ 0,+A \right\} \\ 
 & A=1 \\ 
 & P_{e}=p_{'1'}\cdot Q\left( \frac{\left| V_{T}-m \right|}{\sqrt{\sigma ^{2}}} \right)+p_{'0'}\cdot Q\left( \frac{\left| V_{T}-m \right|}{\sqrt{\sigma ^{2}}} \right) \\ 
 & NRZ\to P_{e}=Q\left( \sqrt{\frac{E_{b}}{\eta }} \right) \\ 
 & ASK\to Q\left( \sqrt{\frac{E_{b}}{\eta }} \right) \\ 
\end{align}

4ASK[editar]

Artículo principal: Prob. de error de 4ASK.


\begin{align}
  & s_{4-ASK}(t)=A_{c}\sum\limits_{k=-\infty }^{\infty }{a_{I_{k}}p\left( t-kT_{s} \right)\cos \left( \omega _{c}t \right)} \\ 
 & a_{I_{k}}=\left\{ 0,A,+2A,+3A \right\} \\ 
\end{align}

La constelación de una señal ASK de 4 niveles es:

4-ASK


La probabilidad de error es:

P_{s}\simeq \frac{3}{2}Q\left( \sqrt{\frac{E_{s}}{7\eta }} \right)=\frac{3}{2}Q\left( \sqrt{\frac{2E_{b}}{7\eta }} \right)

M-ASK[editar]

Artículo principal: Prob. de error de M-ASK.


\begin{align}
  & s_{M-ASK}(t)=A_{c}\sum\limits_{k=-\infty }^{\infty }{a_{I_{k}}p\left( t-kT_{s} \right)\cos \left( \omega _{c}t \right)} \\ 
 & a_{I_{k}}=\left\{ 0,A,+2A,...\left( M-1 \right)A \right\} \\ 
\end{align}

La probalidad de error para una señal ASK de M niveles es:

P_{s}=\frac{M-1}{2}Q\left( \sqrt{\frac{3}{\left( M-1 \right)\left( 2M-1 \right)}\frac{E_{s}}{\eta }} \right)

FSK[editar]

Al igual que en ASK, FSK son (dos) señales ASK que a su vez son codificaciones NRZ.

FSK\to Q\left( \sqrt{\frac{E_{b}}{\eta }} \right)

BPSK[editar]

En BPSK, al tener solo 2 símbolos:

E_{sc}=E_{s}=E_{b}

por lo que: P_{sc}=P_{s}=P_{b}


Para BSK, al demodular tenemos una codificación polar, por lo que:

Constellation diagram for BPSK.

\begin{align}
  & y_{R}(t)=A_{R}\sum\limits_{k=-\infty }^{\infty }{I_{k}p\left( t-kT_{s} \right)+n_{I}(t)} \\ 
 & I_{k}=\left\{ -1,+1 \right\},Q_{k}=0 \\ 
 & A=+1 \\ 
 & a_{k}=\left\{ \begin{align}
  & a_{'1'}=A \\ 
 & a_{'0'}=-A \\ 
\end{align} \right. \\ 
 & m_{'1'}=\int_{0}^{T_{s}}{s_{'1'}(t)kp^{*}\left( t \right)\partial t}=\int_{0}^{T_{s}}{Ap(t)p^{*}\left( t \right)\partial t}=AT_{s} \\ 
 & m_{'0'}=\int_{0}^{T_{s}}{s_{'0'}(t)kp^{*}\left( t \right)\partial t}=\int_{0}^{T_{s}}{-Ap(t)p^{*}\left( t \right)\partial t}=-AT_{s} \\ 
 & V_{T}=0 \\ 
 & P_{e}\left( Polar \right)=P_{e}\left( BPSK \right) \\ 
 & P_{e}=p_{'1'}\cdot Q\left( \frac{\left| V_{T}-m \right|}{\sqrt{\sigma ^{2}}} \right)+p_{'0'}\cdot Q\left( \frac{\left| V_{T}-m \right|}{\sqrt{\sigma ^{2}}} \right)=Q\left( \sqrt{\frac{2A^{2}T_{s}}{\eta }} \right)=Q\left( \sqrt{\frac{2E_{b}}{\eta }} \right) \\ 
\end{align}

QPSK[editar]

Artículo principal: Prob. de error de QPSK.


Constellation diagram for QPSK with Gray coding. Each adjacent symbol only differs by one bit.


La probabilidad de error de QPSK es la misma que la de BPSK.

QPSK\to Q\left( \sqrt{\frac{2E_{b}}{\eta }} \right)

MSK[editar]

Como se explicó, la señal MSK es una modulación OQPSK que utiliza senoides en vez de pulsos rectangulares, por ello, su probabilidad de error es la misma que la de QPSK.

MSK\to Q\left( \sqrt{\frac{2E_{b}}{\eta }} \right)

4PSK[editar]

4PSK


Una señal 4PSK demodulada es equivalente a una codificación bipolar, por la que:

P_{e}\simeq \frac{3}{2}Q\left( \sqrt{\frac{E_{b}}{\eta }} \right)

Esta modulación no es usada, pues su probabilidad de error es mayor que la de QPSK.

M-PSK[editar]

Formula aproximada (falta demostración):

\begin{align}
  & P_{sc}\left( M \right)\simeq Q\left( \sqrt{\frac{2E_{s}}{\eta }}\sin \left( \frac{\pi }{M} \right) \right) \\ 
 &  \\ 
 & P_{s}\left( M \right)\simeq 2Q\left( \sqrt{\frac{2E_{s}}{\eta }}\sin \left( \frac{\pi }{M} \right) \right)\to Q(x)=\frac{1}{2}erfc\left( \frac{x}{\sqrt{2}} \right) \\ 
 & P_{s}\left( M \right)\simeq erfc\left( \sqrt{\frac{E_{s}}{\eta }}\sin \left( \frac{\pi }{M} \right) \right) \\ 
\end{align}


Comparación gráfica de M-ASK y PSK[editar]

ComparacionPSKyASK.PNG


16-QAM[editar]

Artículo principal: Prob. de error de 16-QAM.


Constellation diagram for rectangular 16-QAM.


P_{sc}=\frac{3}{2}Q\left( \sqrt{\frac{1}{5}\frac{E_{s}}{\eta }} \right)

M-QAM rectangular[editar]


P_{sc}=2\left( 1-\frac{1}{\sqrt{M}} \right)\cdot Q\left( \sqrt{\frac{3}{M-1}\frac{E_{s}}{\eta }} \right)


Comparación gráfica entre M-QAM y M-PSK[editar]

ComparacionMSKyPSK.PNG




Proyecto: Departamento de Teoría de la Señal y Comunicaciones
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