Programación Ingeniería Mecánica UPB:Grupo 1420 14

Introducción

El proyecto se fundamenta en elaborar un programa que resuelva modelamientos con ecuaciones diferenciales tales como: crecimiento y decaimiento, enfriamiento y calentamiento, circuitos en serie, sistemas masa-resorte; esto con el fin de, como estudiantes y maestros; tener una herramienta que nos facilite la solución de ecuaciones diferenciales bien sea a la hora de estudiar o en una aplicación real.

Marco teórico

La teoría para los modelos a trabajar se toma del libro ‘Ecuaciones Diferenciales con problemas con valores en la frontera’ de Dennis G.Zill y Michael R.Cullen.

Crecimiento poblacional

Es el cambio en la población que puede ser (bacterias, personas, entre otros); en un cierto intervalo de tiempo.

La ecuación diferencial de primer orden qué explica el crecimiento de una población o la cantidad de cierto reactivo en el futuro es:

{\frac {dx}{dt}}=kx

donde k es una constante de proporcionalidad resuelta a partir del valor inicial.

Ley de enfriamiento y calentamiento de Newton

Es una propiedad de la materia que esta relacionada con la sensación de frío o calor.

Cuando la diferencia de temperaturas entre el medio ambiente y el cuerpo no es demasiado grande, el calor transferido en unidad de
tiempo desde el tiempo por conducción, radiación y conveccion es proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y
el medio externo.
La ley de enfriamiento/calentamiento de Newton se expresa con la ecuación:

{\frac {dT}{dt}}=k(T-Text);T(To)=To

donde k es una constante de proporcionalidad, T(t) es la temperatura del objeto, y T_ext es la temperatura ambiente, es decir, la temperatura del medio que rodea al objeto.

Circuitos

Un circuito es una red o malla eléctrica que permite el flujo de corriente eléctrica, esta depende de un voltaje que puede ser máximo, medio o mínimo.
Un circuito funciona principalmente gracias a la intensidad de corriente que sería el voltaje y una resistencia que con sume la energía y la transforma
en energía útil.
Para un circuito en serie que sólo contiene un resistor y un inductor la segunda ley de Kirchhoff establece que la suma de la caída de voltaje a través del

inductor (L(di/dt)) más la caída de voltaje a través del resistor (Ri) es igual al voltaje aplicado (E) al circuito.
Por tanto obtenemos la ecuación diferencial lineal para la corriente i(t):

L*{\frac {di}{dt}}+Ri=E

donde L y R son constantes conocidas como inductancia y la resistencia, respectivamente.

Resorte

Pieza elástica, que al hacérsele compresión es capaz de almacenar energía y después de liberar la energía volver a su estado normal sin sufrir ninguna
clase de deformación, el uso de este se emplea en la cotidianidad en diferentes actividades indispensables.
Existen 3 tipos de resortes:
+ Resorte de tracción:Son capaces de soportar cargas a tracción como por ejemplo en una lona elástica.
+ Resorte a torsión:Son resortes a los que se les hace torque o momento, podrían estar ubicados en una simple pinza.
+ Resorte a compresión:Están sometidos a cargas o fuerzas compresivas, estos se pueden observar en los amortiguadores de un carro.
La ecuación diferencial de un movimiento libre amortiguado es:

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+2\lambda {\frac {dx}{dt}}+w^{2}x=0

donde:

w^{2}={\frac {k}{m}}

y :

2\lambda ={\frac {\beta }{m}}

, k es la constante del resorte, m la masa y β es la constante de amortiguamiento.

Ecuaciones para solucionar el problema

${\frac {dx}{dt}}=kx$ donde $x(to)=x(o)$ ------>[[1]]

${\frac {dT}{dt}}=k(T-Text);T(To)=To$ ------->[[2]]

$L*{\frac {di}{dt}}+Ri=E$ ------->[[3]]

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+2\lambda {\frac {dx}{dt}}+w^{2}x=0$ -------->[[4]]

Descripción del software

Intro-programa

Ventana con el nombre del programa, nombre de los integrantes y una imagen alusiva al tema a tratar en el programa.

Menú

El menú del programa es un menú básico en el cual se podrá escoger el tema a trabajar.

El usuario podrá elegir entre:
+Crecimiento poblacional
+Calentamiento y enfriamiento de Newton
+Circuitos
+Resortes

Al seleccionar una de las 4 opciones se abrirá otra ventana donde el usuario tendrá que dar los valores pedidos por el programa,
el cual mostrara una gráfica del problema y en algunos estará la opción de mostrar una animación.

Cronograma

Referencias

Ecuaciones Diferenciales con problemas con valores en la frontera’ de Dennis G.Zill y Michael R.Cullen.
Resortes[[5]]
Circuitos[[6]]
Ley de enfriamiento y calentamiento de Newton[[7]]
Crecimiento poblacional[[8]]