Unidad II: Movimiento rectilíneo uniforme acelerado

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Evolución respecto del tiempo de la posición, de la velocidad y de la aceleración de un cuerpo sometido a un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, según la mecánica clásica.

El Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA), también conocido como Movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV) y Movimiento Unidimensional con Aceleracion Constante, es aquél en el que un móvil se desplaza sobre una trayectoria recta y está sometido a una aceleración constante. Esto implica que para cualquier intervalo de tiempo, la aceleración del móvil tendrá siempre el mismo valor. Un ejemplo de este tipo de movimiento es el de caída libre, en el cual la aceleración interviniente y considerada constante es la que corresponde a la de la gravedad.

La figura muestra relaciones, respecto del tiempo, de la posición (parábola), la velocidad (recta con pendiente) y la aceleración (constante, recta horizontal) en este tipo de movimiento.


Ecuaciones del movimiento[editar]

Este movimiento, como su propio nombre indica, tiene una aceleración constante:

a(t) = a_0 \,

(1

por lo que la velocidad V en un instante t dado es:

v(t)= a_0 t + v_0 \,

(2a

donde v_0\, es la velocidad inicial. Finalmente la posición x en el instante t viene dada por:

 x(t) = \frac {1}{2} a_0 t^2  + v_0t + x_0

(3

donde x_0\, es la posición inicial.

Además de las relaciones básicas anteriores, existe una ecuación que relaciona entre sí el desplazamiento y la rapidez lineal del movil. Esta se obtiene despejando el tiempo de (2a) y substituyendo el resultado en (3):

v^2= 2 a_0 x + v_0^2 \,

(2b


{{Plegable|título=Derivación de las ecuaciones de movimiento |contenido=

Para el cálculo de la velocidad en función del tiempo:

\begin{cases}
\cfrac {dv}{dt} = a(t) = a_0\\
v(0) = v_0 \end{cases}

Integrando esta ecuación diferencial lineal de primer orden tenemos:

 dV = a_0 dt \

integrando la ecuación:

 \int dV = \int a_0 dt

sacando valores constantes de la integral:

 \int dV = a_0 \int{dt}

resolviendo la integral:

 V = a_0 t + V_0 \

Donde:  V_0\, es la constante de integración, corresponde a la velocidad del móvil para t = 0\,, en el caso de que el móvil esté en reposo para  t = 0 \, entonces  V_0 = 0 \, .


Para el cálculo del espacio en función del tiempo, se toma la ecuación de la velocidad en función del tiempo y la definición de velocidad:

  1.  V = a_0 t + V_0 \
  2.  V = \frac {dx}{dt}

esto es:  \frac {dx}{dt}= a_0 t + V_0  ;  dx= (a_0 t + V_0)dt \  \int{dx}= \int{(a_0 t + V_0)dt}

descomponiendo la integral:

 \int{dx}= \int{a_0 t dt} + \int{V_0dt}

sacando valores constantes de la integral:

 \int{dx}=a_0 \int{t dt} + V_0 \int{dt}

resolviendo la integral:

 x= \frac {1}{2} a_0 t^2  + V_0t + x_0

Donde  x_0 \, es la constante de integración, que, teniendo en cuenta las condiciones iniciales, corresponde a la posición del móvil respecto del centro de coordenadas para  t = 0 \,. En el caso de que el móvil esté en el centro de coordenadas para  t = 0 \, es  x_0 = 0 \, .

Ecuación no horaria simple[editar]

Se trata de relacionar la posición, la velocidad y la aceleración, eliminando el tiempo. Partiendo de las ecuaciones de la velocidad y del espacio del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado:

  1.  V = a_0 t + V_0 \
  2.  x= \frac {1}{2} a_0 t^2  + V_0 t + x_0

Para simplificar consideremos que:

  1.  V_0 = 0 \
  2.  x_0 = 0 \

y que el movimiento rectilíneo, no necesita representación vectorial, estando las variables representaras por su módulo, con cual tendremos:

  1.  {V} = {a}_0 t \,
  2.  {x}= \frac {1}{2} {a}_0 t^2 \,

despejando t de la primera ecuación:

 t = {\frac{V}{{a}_0}}

y sustituyendo en la segunda:

 {x}= \frac {1}{2} {a}_0 \left( {\frac{V}{{a}_0}}\right)^2

ordenando:

 {x}= \frac {{a}_0  \, {V}^2}{2 \, {{a}_0}^2}

simplificando:


 {x}= \frac {{V}^2}{2 \, {a}_0}


Esta ecuación permite calcular la distancia x, que el móvil alcanzará a la velocidad V. Como puede observarse en esta expresión no interviene el tiempo.

Despejando la velocidad:

 {{V}^2} =  {2 \, {a}_0 \, {x}}

que suele expresarse como:


 {V} =  \sqrt{2 \, {a}_0 \, {x}}


Que determina la velocidad del móvil en función de la aceleración y del espacio recorrido. Esta ecuación permite determinar la velocidad para una determinada distancia recorrida.

Como se dijo, se asume para las ecuaciones anteriores que el móvil parte del reposo y del origen de coordenadas ( V_0 = 0 y  x_0 = 0 ).


Dado que en esas expresiones no interviene el tiempo, ellas se suelen denominar ecuaciones no horarias.


Ecuación no horaria completa[editar]

Para obtener esta procederemos de la misma forma, considerando la posición, la velocidad y la aceleración como escalares pero sin suponer que las condiciones iniciales (x_0, v_0, a_0) son igual a zero para, de este modo, conseguir la ecuación completa.

Consideramos el sistema formado por las ecuaciones de la posición y la velocidad, ambas en función del tiempo:

\left\{ \begin{align}
  & x=x_{0}+v_{0}(t-t_{0})+\frac{1}{2}a_{0}(t-t_{0})^{2} \\ 
 & v=v_{0}+a_{0}(t-t_{0}) \\ 
\end{align} \right.

Despejando t-t_0 \ en la segunda ecuación:

\left\{ \begin{align}
  & x=x_{0}+v_{0}(t-t_{0})+\frac{1}{2}a_{0}(t-t_{0})^{2} \\ 
 & \frac{v-v_{0}}{a_{0}}=t-t_{0} \\ 
\end{align} \right.

Sustituyendo la expresión de t-t_0 \ obtenida al despejar la segunda ecuación en la primera:

x=x_{0}+v_{0}\left( \frac{v-v_{0}}{a_{0}} \right)+\frac{1}{2}a_{0}\left( \frac{v-v_{0}}{a_{0}} \right)^{2}

Ordenamos las fracciones y simplificamos {\left (a_{0} \right)} con {\left( a_{0} \right)^{2}}

x=x_{0}+\frac{v_{0}\left( v-v_{0} \right)}{a_{0}}+\frac{1}{2}a_{0}\frac{\left( v-v_{0} \right)^{2}}{\left( a_{0} \right)^{2}}

Realizamos productos i desenvolupamos paréntesis:

x-x_{0}=\frac{v_{0}v-\left( v_{0} \right)^{2}}{a_{0}}+\frac{1}{2}\frac{v^{2}-2v_{0}v+(v_{0})^{2}}{a_{0}}

Reducimos a común denominador:

x-x_{0}=\frac{2v_{0}v-2\left( v_{0} \right)^{2}}{2a_{0}}+\frac{v^{2}-2v_{0}v+(v_{0})^{2}}{2a_{0}}

Sumamos y restamos, de modo que 2v_{0}v-2v_{0}v=0 \ y -2\left( v_{0} \right)^{2}+(v_{0})^{2}=-(v_{0})^{2}.

x-x_{0}=\frac{v^{2}-\left( v_{0} \right)^{2}}{2a_{0}}

Ordenamos para conseguir la expresión general de la ecuación no horaria:

v^{2}=\left( v_{0} \right)^{2}+2a_{0}(x-x_{0})