Trinomio cuadrado perfecto

Visualización de la fórmula para un binomio al cuadrado y para su trinomio cuadrado perfecto

Un trinomio cuadrado perfecto, por brevedad TCP, son tres términos (también llamado común ) que resulta de elevar al cuadrado un binomio de un trinomio.

Todo trinomio de la forma:
$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
es un trinomio cuadrado perfecto ya que
$(a+b)^{2}=(a+b)(a+b)=\,\!$
$a^{2}+ab+ab+b^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

Siguiendo la regla: binomio cualquier suma al cuadrado es igual al cuadrado del primer término, más el doble del primero por el segundo del primer término, más el cuadrado del segundo término. De lo anterior resulta que un trinomio será cuadrado perfecto siempre que se cumplan las siguientes condiciones:

1. El trinomio puede ser ordenado en potencias descendentes de una variable...
2. Dos de los términos son cuadrados perfectos pero no son semejantes.
3. El segundo término es el doble producto de las raíces cuadradas de los otros dos.
4. El primer y tercer término deben de tener el mismo signo ya sea 1 o 2.

Un trinomio cuadrático general de la forma $ax^{2}+bx+c$ es un TICUPE si se cumple que el discriminante es cero, es decir, que la expresión $b^{2}-4ac\,\!$ es siempre igual a $0$.

También se considera un trinomio cuadrado perfecto de la forma: $a^{2}-2ab+b^{2}\,\!$, donde las mismas reglas explicadas anteriormente aplican. "Trinomio" significa "polinomio de tres términos". Como vemos en los ejemplos, son todos polinomios de 3 términos los que factorizamos con este Caso. Y "cuadrado perfecto" es porque se trata del "cuadrado de algo". O sea, que "algo" elevado al cuadrado (a la potencia "2"), dio como resultado ese "trinomio" que tenemos que factorizar.

Sea:

$12xy+9x^{2}+4y^{2}$

Ordenando según las normas del álgebra, de más a menos $x$, resulta que:

$9x^{2}+12xy+4y^{2}$

Y podemos darnos cuenta de:

$9x^{2}=(3^{2})(x^{2})=(3x)^{2}$

$4y^{2}=(2y)^{2}$

$12xy=2(3x)(2y)$

Podemos averiguar que es un TCP ya que cumple con las normas:

$12xy+9x^{2}+4y^{2}=\left({\sqrt {9x^{2}}}+{\sqrt {4y^{2}}}\right)^{2}=(3x+2y)^{2}$

Sea:

${\frac {1}{4}}y^{4}z^{2}+w^{2}+wy^{2}z$

Ordenando respecto a la variable de mayor potencia ($y$) tenemos:

${\frac {1}{4}}y^{4}z^{2}+wy^{2}z+w^{2}$

evaluando el trinomio vemos que:

${\frac {1}{4}}y^{4}z^{2}=\left({\frac {1}{2}}y^{2}z\right)^{2}$

y

$w^{2}=(w)^{2}$

por último vemos que

$2\left({\frac {1}{2}}y^{2}z\right)(w)=wy^{2}z$