ProgramacionIngenieriaMecanicaUPB:Grupo 1510 02

Integrantes

Sergio A. Posada V., estudiante de Ingeniería mecánica UPB.
Alejandro Jiménez Giraldo, estudiante de Ingeniería mecánica UPB.

Resumen

Se analiza el comportamiento de un fluido equilibrado en una tubería circular, donde se tiene presente la presión, la viscosidad del fluido, el flujo másico, el caudal volumétrico, entre otros. Para esto se utilizan conocimientos previos vistos en Ecuaciones Diferenciales, Métodos Numéricos, Programación para Ingenieros y también se ve la necesidad de consultar sobre Mecánica de Fluidos. Las ecuaciones que gobiernan el fenómeno físico en cusetión son las de Navier-Stokes, las cuales son simplificadas para nuestro problema. Para la solución de éste se utilizan habilidades en nuestra herramienta computacional por excelencia, Matlab, las cuales se fortalecieron por el constante estudio y dedicación a la materia "Programación para Ingenieros" y a otras afines a esta.

Introducción

Flujo laminar y turbulento en una tubería circular.

En los principales tipos de flujo en fluidos, se encuentran dos principales, Fluido laminar y Fluido turbulento. Entendemos por fluido laminar el movimiento de un fluido cuando éste es ordenado, estratificado y suave. Este tipo de fluido se mueve en láminas paralelas sin entremezclarse y cada partícula de fluido sigue una trayectoria suave, llamada línea de corriente. En flujos laminares el mecanismo de transporte lateral es exclusivamente molecular, a diferencia de los flujos turbulentos donde las partículas se mueven de manera caótica y las trayectorias de las partículas se encuentran formando pequeños remolinos periódicos, como por ejemplo el agua bajando por un canal de gran pendiente.

Los flujos laminares suelen ser fluidos con altas viscosidades o bajas velocidades, mientras que fluidos de baja viscosidad con alta presencia de velocidad suelen ser flujos turbulentos.

El perfil de velocidades de un flujo laminar forma una parábola, dado que se presenta mayor velocidad en el centro de la tubería y menor en las paredes de esta al haber cierto coeficiente de fricción. Debido a al movimiento caótico de las partículas en el flujo turbulento es posible predecir la trayectoria de estas hasta cierto escala, a partir de la cual se vuelve impredecible la trayectoria.

Cronograma

Marco Teórico

Nos apegamos a un procedimiento de 6 sencillos pasos para resolver un problema de flujo Newtoniano con las ecuaciones de Navier-Stokes:

1. Escoger un sistema de coordenas.

En qué dirección va el flujo?.
En qué dirección cambia la velocidad?.

2. Determinar la fuerza motriz del flujo (Presión, Gravedad, Corte o Cizallamiento).

3. Escribir las condiciones de frontera iniciales.

4. Hacer un supuesto de la solución.

Cómo debería verse?.

5. Simplificar las ecuaciones de conservación.

6. Resolver la Ecuación Diferencial resultante.

Procedimiento

1. Es preciso escoger coordenadas cilindricas porque nuestro problema esta involucrado en una tuberia.

Vemos que el fluido se mueve de forma paralela al eje de la tubería, entonces el flujo va en la dirección Z.
La velocidad del fluido no es afectada por "Theta" debido a que esta horizontal, entonces la velocidad varía por el radio (r), de lo que podemos concluir que: $V_{z}(r)$ y $V_{r}=V_{\Theta }=0$

2. Es impulsado por la presión.

3. Condiciones de Frontera:

Cuando $r=a$ → $V_{z}=0$
cuando $r=o$ → $V_{z}=finito$ (Es donde estará la velocidad máxima).

4. Supuesto de la solución (Perfil en rojo):

5. Se simplifican las Ecuaciones de Movimiento:

Conservación de la masa:

${\frac {\partial p}{\partial t}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(prV_{r}\right)+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial \Theta }}\left(pV_{\theta }\right)+{\frac {\partial }{\partial z}}\left(pV_{z}\right)=0$

Como $t=0$ y $V_{r}=V_{\Theta }=0$ , la ecuación llega a una tautología $0=0$ . Cumple con la conservación de la masa pero no arroja información muy importante.

Conservación del Momento:

En r→ $\rho \left({\frac {\partial V_{r}}{\partial t}}+V_{r}{\frac {\partial V_{r}}{\partial r}}+{\frac {V_{\theta }}{r}}{\frac {\partial V_{r}}{\partial \Theta }}-{\frac {V_{\Theta }^{2}}{r}}+V_{z}{\frac {\partial V_{r}}{\partial z}}\right)=-{\frac {\partial p}{\partial r}}-\rho g_{r}+\mu \left[{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(rV_{r}\right)\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}V_{r}}{\partial \Theta ^{2}}}-{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial V_{\Theta }}{\partial \Theta }}+{\frac {\partial ^{2}V_{r}}{\partial z^{2}}}\right]$
En Θ→ $\rho \left({\frac {\partial V_{\Theta }}{\partial t}}+V_{r}{\frac {\partial V_{\Theta }}{\partial r}}+{\frac {V_{\theta }}{r}}{\frac {\partial V_{\Theta }}{\partial \Theta }}+{\frac {V_{r}V_{\Theta }}{r}}+V_{z}{\frac {\partial V_{\Theta }}{\partial z}}\right)=-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial p}{\partial \Theta }}-\rho g_{\Theta }+\mu \left[{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(rV_{\Theta }\right)\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}V_{\Theta }}{\partial \Theta ^{2}}}+{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial V_{r}}{\partial \Theta }}+{\frac {\partial ^{2}V_{\Theta }}{\partial z^{2}}}\right]$
En z→ $\rho \left({\frac {\partial V_{z}}{\partial t}}+V_{r}{\frac {\partial V_{z}}{\partial r}}+{\frac {V_{\theta }}{r}}{\frac {\partial V_{z}}{\partial \Theta }}+V_{z}{\frac {\partial V_{z}}{\partial z}}\right)=-{\frac {\partial p}{\partial z}}+\rho g_{z}+\mu \left[{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial V_{z}}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}V_{z}}{\partial \Theta ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V_{z}}{\partial z^{2}}}\right]$

De nuevo, como $V_{z}(r)$ → $V_{r}=V_{\Theta }=0$ y el flujo es forzado por la presión, las ecuaciones se simplifican a estas:

r→ ${\frac {\partial p}{\partial r}}=0\Rightarrow \rho \neq F\left(r\right)$
Θ→ ${\frac {\partial p}{\partial \Theta }}=0\Rightarrow \rho \neq F\left(\Theta \right)$
z→ ${\frac {\partial p}{\partial z}}={\frac {\mu }{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial V_{z}}{\partial r}}\right)$

Y esta última es la que nos dara el campo de velocidades y la forma de distribución en la tubería
donde ${\frac {\partial p}{\partial z}}=0\Rightarrow \rho \neq F\left(\Theta \right)$ , vemos que ${\frac {\partial p}{\partial z}}$ sólo depende de z y ${\frac {\mu }{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial V_{z}}{\partial r}}\right)$ solo depende de r, entonces la única manera de que $F(r)$ y $F(z)$ sean iguales, es que ambas esten igualadas a la misma constante C, entonces:

La presión a lo largo de 2 puntos en una longitud L.

${\frac {d\rho }{dz}}=C\Rightarrow \rho (z)$ Es Lineal al movimiento

${\frac {d\rho }{dz}}={\frac {\rho _{2}-\rho _{1}}{z_{2}-z_{1}}}={\frac {\rho _{2}-\rho _{1}}{L}}$

Como queremos el flujo de izquierda a derecha $\rho _{1}>\rho _{2}$ deiniremos:

$-{\frac {d\rho }{dz}}={\frac {\rho _{2}-\rho _{1}}{L}}={\frac {\Delta \rho }{L}}$

Entonces: $-{\frac {\Delta \rho }{L}}={\frac {\mu }{r}}{\frac {d}{dr}}\left(r{\frac {dV_{z}}{dr}}\right)$

Reescribimos:

               ${\frac {d}{dr}}\left(r{\frac {dV_{z}}{dr}}\right)=-{\frac {r}{\mu r}}{\frac {\Delta \rho }{L}}$   $\Rightarrow$  E.D

Y ya tenemos nuestra Ecuación Diferencial, ya sólo resta resolverla.

Solución

Dado que tenemos una ecuación de 2 orden, podemos solucionarla utilizando varios métodos. En este caso haremos uso de 2 métodos, Diferencias Finitas y BVP4C, ambos en Matlab.

Diferencias Finitas

El Método consiste en una aproximación de las derivadas parciales por expresiones algebraicas con los valores de la variable dependiente en un limitado número de puntos seleccionados. Como resultado de la aproximación, la ecuación diferencial parcial que describe el problema es reemplazada por un número finito de ecuaciones algebraicas, en términos de los valores de la variable dependiente en puntos seleccionados. El valor de los puntos seleccionados se convierten en las incógnitas. El sistema de ecuaciones algebraicas debe ser resuelto y puede llevar un número largo de operaciones aritméticas.

BVP4C

Solve boundary value problems for ordinary differential equations por sus siglas en ingles (BVP4C) y en español Solucionador de Ecuaciones Diferenciales con Condiciones en la Frontera. Lo que hace este comando es integrar un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de la forma $y'=f(r,z)$ en un intervalo $[a,b]$ sujeto a condiciones en la frontera de 2 puntos.

El comando $sol=bvp4c(odefun,bcfun,solinit)$

'odefun' es una función que contiene el cambio de variable que se le hace a la Ecuación.
'bcfun' es una función que contiene el vector con las respectivas condiciones de frontera en 2 puntos.
solinit es donde arroja los resultados en matrices comprimidas, que se descomprimen posteriormente para obtener los resultados.

Resultados y análisis

El programa realizado nos muestra como resultado dos gráficas, dependiendo de los datos agregados en la interfaz 2, los cuales son la presión de entrada y la presión de salida, la longitud de la tubería, el diámetro de la tubería y la viscosidad del líquido.

En la gráfica de Velocidad del flujo vs Radio, nos muestra como el fluido tiene una mayor reacción en el centro de la tubería, entonces donde el radio sea mayor la velocidad disminuye.

En la gráfica de Fricción en el tubo vs Radio, nos muestra como el fluido tiene mayor resistencia en las paredes de la tubería por su fricción. En el centro de la tubería se genera la menor resistencia, por esto, la velocidad es máxima.

Conclusiones

En el análisis del fluido laminar en una tubería cilíndrica, se observan varios factores que influyen en sus reacciones, como las dimensiones de la tubería, las presiones ejercidas y la viscosidad del fluido. Para la realización del programa se utilizaron dos métodos, con los cuales se puede hacer uso de condiciones de frontera, diferencias finitas y el bvp4c, gracias a estos métodos y herramientas de Matlab, se pudo ejecutar el programa pues era necesario usar condiciones de frontera.

Se obtuvieron resultados que ayudan a simular el comportamiento de fluidos en tuberías, y como sus dimensiones afectan en este.

Referencias

http://fluidos.eia.edu.co/hidraulica/articuloses/conceptosbasicosmfluidos/flujolaminar/flujolaminar.html

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/pfric.html

https://es.wikipedia.org/wiki/Flujo_en_tuber%C3%ADa

http://www.mathworks.com/help/matlab/ref/bvp4c.html

https://www.youtube.com/watch?v=mtoHgKdXLJk