Ingeniería Aeronáutica/Química/Tema 1. La estructura atómica

Introducción al átomo

Constitución del átomo

El átomo lo conforman tres tipos de partículas principales:

• Los electrones $e^{-}$.
• Los protones $p^{+}$.
• Los neutrones n.

En el átomo podemos distinguir dos partes principales: el núcleo y la corteza.

• Núcleo: parte central del átomo donde se aglomeran los neutrones y los protones.
• Corteza: parte externa del átomo que envuelve al núcleo y que es donde orbitan los electrones.

Propiedades de las partículas nucleares	Carga	Masa
Electrón (descubierto por Thomson)	- 1,06•10-19 C	9,109•10-31 kg
Protón (descubierto por Goldstein)	+ 1,06•10-19 C	1,672•10-27 kg
Neutrón (descubierto por Chadwick)	0 C (neutro)	1,675•10-27 kg

Como se puede observar, existe una diferencia de masa considerable entre electrones y protones:

${\frac {m_{p^{+}}}{m_{e^{-}}}}\cong 1836$

Modelos atómicos

Después de que en el año 1869 Dimitri Mendeléyev ordenase los elementos en la Tabla Periódica de los Elementos, se propusieron varios modelos cuya intención era explicar la estructura del átomo. Éstas fueron tales como:

• Thomson (1906): propuso un modelo en que el átomo era una masa esférica muy compacta con electrones incrustados que podían moverse debido a la energía interna del sistemes.
• Rutherford (1911): emitió radiación nuclear sobre una lámina de oro (Au) con una muestra de radio. Detrás de la lámina situó una placa fosforescente. Rutherford observó que:
  • La radiación gamma ($\gamma$, que es radiación electromagnética) no penetraba la lámina de oro.
  • La radiación beta ($\beta$, que son electrones, e^-) tampoco penetraba la lámina.
  • La radiación alfa ($\alpha$, que son núcleos de helio (He) 2p⁺) sí penetraba la lámina, hasta de forma difractada porque se apreciaba en la lámina fosforescente. De lo que dedujo que el átomo no era macizo, sinó que entre átomo y átomo de una red metálica habia espacios huecos. Después de su descubrimiento, Rutherford expuso un modelo en que los electrones describian órbitas circulares alrededor de un núcleo cargado positivamente.
• Bohr: el modelo de Rutherford fallaba; si los electrones describian órbitas, estarían emitiendo energia contínuamente en forma de ondas electromagnéticas, de manera que perderían su energía cinética y acabarían impactando con el núcleo. Bohr propuso un modelo basado en la teoría cuántica de Plank. En el modelo de Bohr los electrones se distribuyen en niveles disctretos de energía alrededor del núcleo. De esta manera se dice que la energia de los electrones que orbitan está cuantizada según la hipótesis de Plank.

Hipótesis de Plank: $E=h\nu$.

Donde:

• $E$ es la energía de un quanto, de un fotón (J).
• $h$ es la constante de Plank, cuyo valor es 6.625 · 10^-34 J·s.
• $\nu$ es la frecuencia (Hz, s^-1), que es igual a ${\begin{matrix}{\frac {c}{\lambda }}\end{matrix}}$.
• $c$ es la velocidad de la luz (m·s^-1).
• $\lambda$ es la longitud de onda (m).
• ${\bar {\nu }}$ es el número de onda (m^-1), que es igual a ${\begin{matrix}{\frac {1}{\lambda }}\end{matrix}}$.

La ecuación de Schrödinger

Aparece para mejorar el modelo de Bohr, que solamente explicaba completamente el hidrógeno (H).

Se basa en la teoría de la dualidad onda partícula de De Broglie, que asocia una ecuación de onda al electrón.

$\lambda ={\frac {h}{mv}}={\frac {h}{\sqrt {2mE_{c}}}}$

Donde:

• $\lambda$ es la longitud de la onda asociada a una partícula de masa m y velocidad v.

De la primera igualdad de la ecuación anterior, aparece el Principio de Incerteza de Heisenberg, que enuncia la imposibilidad de determinar la velocidad y la posición de una partícula subatómica en un instante determinado con exactitud. Esto se debe al hecho que para determinar la posición exacta de un cuerpo, es necesario emitir contra él una radiación electromagnética. Si el cuerpo es una partícula subatómica, la radiación electromagnética deja de comportarse como una onda y se comporta como una partícula llamada fotón. Si la onda tiene una frecuencia alta, el fotón tiene una cantidad de movimiento elevada, de manera que del choque entre él y el cuerpo podemos obtener con precisión la posición pero no la velocidad. Si el fotón tiene una cantidad de movimiento pequeña (frecuencia de onda baja), determinaremos con exactitud la velocidad pero no la posición.

Este principio determina la ecuación:

$\Delta x\cdot \Delta p\approx h$

Donde:

• $\Delta x$ es el error en la determinación de la posición.
• $\Delta p$ es el error en la determinación de la cantidad de movimiento.
• $p$ es la cantidad de movimiento del cuerpo determinada por $p=mv$ donde m es la masa del cuerpo y v es su velocidad

Ejemplo 1:

Determinar la longitud de onda asociada a una bala de masa m = 40g desplazandose a una velocidad v = 500 m/s.

$\lambda ={\frac {h}{mv}}={\frac {6.625\cdot 10^{-34}J\cdot s}{0.040kg\cdot 500m/s}}=1.45604\cdot 10^{-6}m$

Ejemplo 2:

Calcular el error en la determinación de la posición de un electrón si el error al determinar la velocidad ha sido de un 0.01%.

Datos: $m_{e^{-}}=9.109\cdot 10^{-31}kg$

$\Delta x\cdot \Delta p\approx h\longrightarrow \Delta x\approx {\frac {h}{\Delta p}}={\frac {h}{m_{e^{-}}\Delta v}}={\frac {6.625\cdot 10^{-34}J\cdot s}{9.109\cdot 10^{-31}kg\cdot {\frac {0.01}{100}}m/s}}=0.01456m$

En el Ejemplo 1 observamos podemos asociar una longitud de onda (y, por lo tanto, una frecuencia) a cualquier cuerpo en movimiento, aplicando la teoría de la dualidad onda-corpúsculo a la materia.

En el Ejemplo 2 observamos que cuando el cuerpo tiene una masa pequeña (en este caso; el electrón) nos es imposible determinar con certeza la posición y la velocidad a la vez. Hemos podido determinar la velocidad del electrón con una certeza de un 0.01 por ciento, mientras que la posición del electrón tiene un error de 14,56 cm; o lo que es lo mismo, que es como determinar la posición de un grano de arena diciendo que se encuentra en un radio de 500 km; o lo que también es lo mismo: no sabemos ni por asomo donde se encuentra este electrón.

A partir de todo esto, Schrödinger enuncia la siguiente fórmula:

$\nabla ^{2}\Psi +{\frac {8\pi ^{2}m_{e^{-}}}{h^{2}}}(E-V)\Psi =0$

Donde:

• $\Psi$: (Psi) es la funcion de onda asociada al electrón. $\Psi =A\sin {{\frac {2\Pi }{\lambda }}x}$
  • $A$: amplitud de la onda asociada.
  • $m_{e^{-}}$: masa del electrón.
  • $E$: energía del electrón.
  • $V$: energía potencial del electrón.

Cuando esta ecuación se resuelve, se encuentran $\Psi$ como funciones propias y E como valores propios de la energía del electrón. Como los valores que encontramos de E son discretos, los niveles en los que se distribuyen los electrones también lo son.

El significado de la ecuación es:

• $\Psi$ en un punto $(x,y,z)$ ó $(r,\theta ,\phi )$ es el valor de la amplitud de la onda asociada en dicho punto.
• $\Psi ^{2}$ en un punto $(x,y,z)$ ó $(r,\theta ,\phi )$ es la densidad o probabilidad de encontrar el electrón en dicho punto.
• $\Psi ^{2}dv$ en un punto $(x,y,z)$ ó $(r,\theta ,\phi )$ es la densidad o probabilidad de encontrar el electrón en el diferencial de volumen dv.