Física básica/Repaso de matemáticas

Álgebra

Es bueno recordar que en el álgebra se utilizan símbolos como x, y (sin ser estos los únicos) que representan cantidades que no se conocen, se les denomina incógnitas, para el trabajo con estos símbolos hay que recordar además de las leyes del álgebra la forma lógica de operación es decir, por ejemplo en la ecuación $3x+2y=0$ no tiene sentido el resultado $5xy$ ya que la operación con los símbolos algebraicos (términos alfabéticos) se realiza por grupos de iguales, en otras palabas x con x e y con y.

Un primer uso de las reglas de la aritmética en el álgebra esta dado en la resolución de ecuaciones, para comenzar veamos algunos casos de ecuaciones lineales:

$3x=24\,$ (1)

Es importante recordar que el lenguaje matemático al igual que cualquier otro lenguaje tiene reglas ortográficas y gramaticales, es decir muchos errores que se cometen en la resolución de procedimientos matemáticos radican en el mal uso del lenguaje, para empezar lo primero es olvidarse de la histórica transposición de términos que aunque ha sido manejada por mucho años no tiene sentido matemáticamente hablando, veamos en que consiste el procedimiento real para despejar en la ecuación anterior, ecuación (1), la incógnita x:

${\frac {3x}{3}}={\frac {24}{3}}$ $x=8$

Como vemos no se trata de pasar el tres a dividir, eso no tiene sentído matemático, de lo que se trata es de dividir a los dos lados de la igualdad por la misma cantidad, a esto se le llama construir ecuaciones equivalentes, o de otra forma operar a ambos lados de la igualdad de la misma manera.

Este procedimiento se realiza con todas las operaciones básicas como elevar a una potencia, aplicar algún radial, sumar cantidades, restar cantidades, multiplicar etc.

Veamos un ejemplo más:

Resolver: $(8x-2)(3x+4)=(4x+3)(6x-1)\,$ Solución: $24x^{2}+26x-8=24x^{2}+14x-3\,$ Resolviendo paréntesis $24x^{2}+26x-8-(24x^{2}+14x)=24x^{2}+14x-3-(24x^{2}+14x)\,$ 'Restando $(24x^{2}+14x)$ $12x-8+8=-3+8\,$ 'Sumando $8$ ${\frac {12x}{12}}={\frac {5}{12}}\,$ 'Dividiento por $12$ $x={\frac {5}{12}}$ 'Resultado final

Reglas para operar fracciones

Multiplicación de fracciones

Los dividendos se multiplican para dar el dividendo de la fracción del resultado,asi mismo el divisor final es el producto de los dos divisores de las fracciones que se multiplican

${\frac {a}{b}}\times {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}$

División de fracciones

El dividendo en el resultado es igual al producto de el dividendo de la fracción que se divide por el divisor dela fraccion que divide,y el divisor de la fracción del segundo término (el resultado) es el producto (la multiplicación) del divisor de la fracción que se divide en el primer término por el dividendo de la fracción que la divide

${\cfrac {\cfrac {\alpha }{\beta }}{\cfrac {\gamma }{\delta }}}={\cfrac {\alpha \delta }{\beta \gamma }}$

Adicción y diferencia de fracciones

Los divisores se multiplican para dar el divisor del resultado (la fracción del segundo término) así mismo, los dividendos de las fracciones del primer término se multiplican cada uno con el divisor de la otra, como se ilustra en el recuadro adjunto a continuación

${\frac {x}{y}}\pm {\frac {u}{z}}={\frac {xz\pm yu}{yz}}$

Nota:

En la Diferencia hay que tener especial cuidado con el orden en que se hace la operación.

Regla de los exponentes

Es necesario recordar dos términos básicos antes de revisar los resultados principales de la regla de los exponentes, estos dos términos son base y exponente o potencia, en una expresión algebraica la base es la cantidad sobre la que actúa la pontencia y el exponente es la cantidad que indica cuantas veces se multiplica la base, por ejemplo en la expresión

$x^{5}$

La base es x y el exponente 5 lo que indica que se multiplica x cinco veces.

Leyes de potencias

• $\alpha ^{0}=1$ $\forall \alpha \neq 0$
• $\alpha ^{1}=\alpha$
• $\alpha ^{n}\times \alpha ^{m}=\alpha ^{n+m}$
• ${\frac {\alpha ^{n}}{\alpha ^{m}}}=\alpha ^{n-m}$ $\forall \alpha \neq 0$
• $\left({\frac {\alpha }{\beta }}\right)^{n}={\frac {\alpha ^{n}}{\beta ^{n}}}$ $\forall \beta \neq 0$
• ${\sqrt[{n}]{\alpha ^{m}}}=\alpha ^{\frac {m}{n}}$
• $(\alpha \beta )^{n}=\alpha ^{n}\beta ^{n}$
• ${\sqrt[{n}]{\alpha }}=\alpha ^{\frac {1}{n}}$
• $(\alpha ^{n})^{m}=\alpha ^{nm}$

Radicales

De igual forma que con los exponentes, para los radicales es necesario saber identificar las partes de una expresión radical, para ello utilizamos la siguiente expresión:

${\sqrt[{n}]{a}}$

Donde:

• n es el índice.
• ${\sqrt {}}$es el signo.
• a es la cantidad subradical.

Simplificación de radicales

Se puede reducir la forma en que se expresa un radical utilizando el siguiente método: dividiendo por el índice y sacando del radical las expresiones con exponente entero. Veamos un ejemplo:

Simplificar la expresión: $2{\sqrt[{2}]{25p^{6}q^{3}r}}$ Solución: Factorizando la cantidad subradical hasta conseguir exponentes que sean múltiplos o iguales al índice: $2{\sqrt[{2}]{5^{2}p^{6}q^{2}qr}}$ Tomando la cantidad subradical, se dividen los exponentes en el índice: $5^{\frac {2}{2}}p^{\frac {6}{2}}q^{\frac {2}{2}}q^{\frac {1}{2}}r^{\frac {1}{2}}$ Las cantidades con exponente Entero se sacan del radical y las que tengan exponente No Entero se dejan dentro del radical (Recordar de la ley de exponentes $a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}$): $2\times (5p^{3}q){\sqrt[{2}]{qr}}$ Resultado final: $10p^{3}q{\sqrt[{2}]{qr}}$

Adicción y diferencia de radicales

Para poder realizar operaciones de adición o diferencia entre radicales es necesario que los radicales involucrados sea semejantes.

Un par de radicales se llaman semejantes cuando tiene el mismo índice y la misma cantidad subradical, por ejemplo, los siguientes radicales son radicales semejantes:

$5a{\sqrt {x\delta ^{2}}}$; $10p{\sqrt {x\delta ^{2}}}$ y $8yq{\sqrt {x\delta ^{2}}}$

Teniendo lo anterior presente desarrollar adiciones o diferencias con radicales es tan simple como hacerlo con expresiones algebraicas, para dar un ejemplo:

Desarrolle las operaciones indicadas: $5p{\sqrt {xy}}+(2p-q){\sqrt {xy}}-3q{\sqrt {xy}}$ Solución: $5p{\sqrt {xy}}+2p{\sqrt {xy}}-q{\sqrt {xy}}-3q{\sqrt {xy}}$ 'Propiedad distributiva $7p{\sqrt {xy}}-4q{\sqrt {xy}}$ 'Desarrollo de las operaciones $(7p-4q){\sqrt {xy}}$ 'Resultado final

Multiplicación de radicales

Respecto a la multiplicación de radicales se dan dos casos generales:

• Si los radicales a multiplicar tienen el mismo índice.

  En este caso la multiplicación de raices es igual a la raiz de la multiplicación, ésto se puede resumir en la siguiente expresión:

(2) ${\sqrt[{n}]{\epsilon }}\times {\sqrt[{n}]{\mu }}={\sqrt[{n}]{\epsilon \times \mu }}$

• Si los radicales a multiplicar tienen índices diferentes.

  Este caso precisa de que los índices de todas las raíces sean los mismos, para ver el procedimiento seguimos el siguiente ejemplo:

Desarrolle la siguiente multipliación de radicales: ${\sqrt[{6}]{3a}}\times {\sqrt[{12}]{b-a}}\times {\sqrt[{4}]{2ab}}$ Solución: Inicialmente se toman los índices y se calcula su $m.c.m$ y éste será el índice común: $m.c.m(4;6;12)=12$ El nuevo índice común se divide en cada uno los índices inciales: $12\div 6=2;12\div 12=1;12\div 4=3$ La cantidad subradical de cada radical se eleva al resultado de su correspondiente cociente: ${\sqrt[{12}]{(3a)^{2}}}\times {\sqrt[{12}]{(b-a)}}\times {\sqrt[{12}]{{(2ab)}^{3}}}$ Se desarrolla la operación de acuerdo a lo expresado en la ecuación (2) ${\sqrt[{12}]{9a^{2}\times (b-a)\times (2ab)^{3}}}$ Resultado final: ${\sqrt[{12}]{72a^{5}b^{3}(b-a)}}$

Cociente de radicales

Para el cociente de radicales se sigue el mismo procedimiento de la multiplicación de radicales es decir, si los radicales tienen el mismo índice el cociente de raíces es la raíz del cociente lo que se expresa de manera general como:

(3) ${\sqrt[{n}]{\frac {w}{k}}}={\frac {\sqrt[{n}]{w}}{\sqrt[{n}]{k}}}$

En el caso donde los índices de los radicales son diferentes se sigue el procedimiento expresado en el numeral (b) de la multiplicación de radicales, para verlo estudiamos el siguiente ejemplo:

Desarrolle el cociente planteado: ${\frac {\sqrt[{4}]{2x^{2}}}{\sqrt[{3}]{x}}}$ Solución: Lo primero es encontrar el $m.c.m$ entre los índices de los radicales. $m.c.m(4;3)=12$ Ahora al dividir el índice común $(12)$ entre cada uno de los índices iniciales se optinen los nuevos exponentes de las cantidades subradicales: $12\div 4=3;12\div 3=4$ Ya con el índice común y los nuevos exponentes se aplica el resultado de la ecuación (3): ${\sqrt[{12}]{\frac {(2x^{2})^{3}}{x^{4}}}}$ Y el resultado final: ${\sqrt[{12}]{8x^{2}}}$

Otras propiedades de los radicales

• ${\sqrt[{n}]{\sqrt[{m}]{a}}}={\sqrt[{nm}]{a}}$
• $p{\sqrt[{n}]{q}}={\sqrt[{n}]{p^{n}q}}$

Otras ecuaciones de interés

Ahora se presenta una recopilación de ecuaciones en varios temas, ecuaciones que es apropiado tenerlas siempre cerca

Factorización de polinomios

• $ax+ay+az=a(x+y+z)$
• $x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)$
• $x^{2}+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$
• $x^{2}+2xy+y^{2}=(x+y)^{2}$
• $x^{2}-2xy+y^{2}=(x-y)^{2}$
• $acx^{2}+(ad+bc)xy+bdy^{2}=(ax+by)(cx+dy)$
• $x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})$
• $x^{3}-y^{3}=(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})$

Ecuaciones lineales

De dos puntos $P_{1}=(x_{1},y_{1})$ y $P_{2}=(x_{2},y_{2})$, ubicados en un mismo plano se puede determinar:

• La distancia entre los puntos, a través de la ecuación de la distancia

${\overline {|P_{1}P_{2}|}}={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}$

• El punto medio del segmento de recta que une a $P_{1}$ y $P_{2}$.

Llámese M al punto medio del segmento ${\overline {P_{1}P_{2}}}$, las coordenadas de M estarán dadas por $(X_{M},Y_{M})$, conocidas las coordenadas de $P_{1}$ y $P_{2}$ se tiene que: $X_{M}={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}$ y $Y_{M}={\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}$

• La pendiente de la recta que pasa por los puntos $P_{1}$ y $P_{2}$

Antes de ver como calcular el valor de la pendiente de la recta es bueno recordar el concepto de pendiente. La pendiente de la recta indica el grado de inclinación de la recta, entre mayor sea el valor de la pendiente más inclinada será la recta, la pendiente siempre se lee como el número de unidades de desplazamiento en el eje vertical Y, sobre el número de unidades de desplazamiento sobre el eje horizontal X; ya que la pendiente determina el grado de inclinación de la recta, se dan entonces cuatro casos de recta respecto al valor de la pendiente.

• Si la pendiente es cero $m=0$ la recta es horizontal.
• Si la pendiente es negativa $m<0$ la recta tiene un sentido decreciente.
• Si la pendiente es positiva $m>0$ la recta tiene un sentido creciente.
• Si la pendiente es indeterminada $m=\infty$ la recta es vertical.

De acuerdo a lo anterior veamos como se calcula el valor de la pendiente: Dado que se conocen las coordenadas de dos puntos $P_{1}$ y $P_{2}$ el valor de la pendiente se calcula como sigue: $m={\frac {\Delta _{y}}{\Delta _{x}}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$ Si se conoce el ángulo $\theta$ que forma la recta con el eje horizontal X, la pendiente de la recta queda definida como: $m=\tan \theta$

Otros dos resultados importantes que involucran a dos rectas, relativos a la pendiente son:

Sean $m_{1}$ y $m_{2}$ las pendientes de dos rectas, se dice que las rectas son paralelas si y solo si: $m_{1}=m_{2}$ Sean $m_{1}$ y $m_{2}$ las pendientes de dos rectas, se dice que las rectas son perpendiculares si y solo si: $m_{1}\times m_{2}=-1$

Como ya sea ha visto teniendo las coordenadas de dos puntos $P_{1}$ y $P_{2}$ de la rect, es posible calcular la pendiente, luego para calcular la ecuación general de recta utilizaremos el cálculo de la pendiente y cualquiera de los dos puntos dados, utilizando la siguiente ecuación:

$y-y_{1}=m(x-x_{1})$

donde al despejar y se obtiene la ecuación general de la recta:

$y=mx+b$

Se resalta, de la ecuación general que:

• y: es la variable dependiente
• m: el valor de la pendiente
• x: la variable independiente
• b: el valor del intercepto o el valor de y cuando x vale cero (0)

Ecuación cuadrática y teorema de binomio

La ecuación cuadrática es un polinomio de grado dos en una variable cuya representación gráfica corresponde a la parábola y sus soluciones o ceros se calculan utilizando la ecuación:

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

El teorema del binomio es utilizado para desarrollar expresiones de la forma $(a+b)^{n}$:

$(a+b)^{n}=_{n}C_{0}a^{n}+_{n}C_{1}a^{n-1}b+_{n}C_{2}a^{n-2}b^{2}+\cdots +_{n}C_{r}a^{n-r}b^{r}+\cdots +_{n}C_{n}b^{n}$ Donde $_{n}C_{r}={\frac {n!}{(n-r)!r!}}$

Propiedades del cero

• Mulplicación por cero $a\times 0=0$
• División por cero ${\frac {a}{0}}={\text{indefinido}}$ Estrictamente no existe, el valor en el límite puede ser $+\infty$, $-\infty$, o un valor fijo. También puede ser diferente el límite en 0⁺ y en 0^-, o simplemente no ser calculable.
• Adición del cero $\ a+0=a$
• Sustracción del cero $\ a-0=a$

Véase también

• Introducción al estudio de la Física/Repaso de Matemáticas/Examen