Educación Media (Chile)/Matemáticas/Conjuntos numéricos

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Contenido

1 Conjuntos númericos
2 Actividades
3 Referencias

Unidad I: Números y proporcionalidad
Lección 1: Conjuntos númericos

Notas:

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[editar] Conjuntos númericos

[editar] Números naturales

Los números naturales nos permiten contar los botones de la imagen.

Conjunto designado con la letra $\mathbb{N}$ que surgió de la necesidad de contar:

$\mathbb{N} = \{1,2,3,4,5,\ldots\,+ \infty \}$

Características:

Posee infinitos elementos.
El primer elemento es el número 1.
Cada número natural tiene un sucesor:

$n + 1 , \forall\ n \in \ \mathbb{N}$

Cada número natural posee un antecesor:

$n - 1 , \forall\ n \in \ \mathbb{N} , n \not= 1$
Excepto el número 1 ya que: $1 - 1 = 0 , 0 \not\in \mathbb{N}$

Sub-conjuntos:

Números pares representados como $2n ,\forall\ n \in \ \mathbb{N}$

$\mathbb{N} = \{2,4,6,8,\ldots\,+ \infty \}$

Números impares representados como $2n+1 ,\forall\ n \in\ \mathbb{N}$

$\mathbb{N} = \{1,3,5,7\ldots\,+ \infty \}$

Números primos son aquellos divisibles por si mismo y el uno, excepto este último.

$\mathbb{N} = \{2,3,5,7,11,13,\ldots\,+ \infty \}$

Operaciones:

Adición entre sus propiedades encontramos:

Clausura $(a + b) \in \ \mathbb{N} ,\forall\ a,b \in\ \mathbb{N}$
Conmutatividad $(a + b) = (b + a) ,\forall\ a,b \in\ \mathbb{N}$
Asociatividad $a + (b + c) = (a + b) + c ,\forall\ a,b,c \in \ \mathbb{N}$

Sustración: en el conjunto de números naturales la resta no siempre es cerrada

Ejemplo:

$3 - 4 = -1 , -1\not\in \mathbb{N}$

Por ello para que la sustración exista en éste conjunto debe estar definida como:

$a - b \in \ \mathbb{N} \Leftrightarrow a > b, \forall\ a,b \in\ \mathbb{N}$

Multiplicación entre sus propiedades encontramos

Clausura $(a\, \cdot\ b) \in \ \mathbb{N} ,\forall\ a,b \in\ \mathbb{N}$
Conmutatividad $(a\, \cdot\ b) = (b\, \cdot\ a) ,\forall\ a,b \in \ \mathbb{N}$

Asociatividad $a\, \cdot\ (b\, \cdot\ c) = (a\, \cdot\ b) \cdot\ c ,\forall\ a,b,c \in\ \mathbb{N}$
Neutro multiplicativo el 1 $a\, \cdot\ 1 = a,\, \forall\ a \in\ \mathbb{N}$

División para que la división de números naturales exista el dividendo debe ser divisible por el divisor, defiendola como:

$(a : b) \in \ \mathbb{N} \Leftrightarrow a$ es divisible por $b, \forall\ a,b \in\ \mathbb{N}$

[editar] Números cardinales

El conjunto de números cardinales surgé de na unión de los números naturales y el cero $\mathbb{N}_0 = \mathbb{N} \cup \big\{ 0 \big\}$

$\mathbb{N}_0 = \{0,1,2,3,4,5,\ldots\,+ \infty \}$

Características posee las mismas características que el conjunto de los naturales salvo:

El primer elemento es el número 0.
El número 1 sí tiene antecesor osea el 0 , sin embargo éste no tiene puesto que

$0 - 1 = -1 , -1 \not\in \mathbb{N}_0$

Operaciones:

Adición, se cumplen las mismas propiedades del conjunto de números naturales, pero se agrega :

Neutro aditivo el 0 $a + 0 = a,\, \forall\ a \in\ \mathbb{N}_0$

Sustración, en los cardinales la resta está determinada por:

$a - b \in \ \mathbb{N}_0 \Leftrightarrow a \ge b, \forall\ a,b \in\ \mathbb{N}_0$

Multiplicación se añade:

Elemento absorvente el 0

$a \cdot\ 0 = 0, \forall\ a \in\ \mathbb{N}_0$

División, para que ésta se defina el divisor debe ser distinto de cero, luego:

$(a : b) \in \ \mathbb{N}_0 \Leftrightarrow a$ es divisible por $b, \forall\ a,b \in\ \mathbb{N}_0, \land b \not= 0$

[editar] Números enteros

El conjunto de los números enteros surgió de la difultad de realizar restas como 5 - 8 = , de esta forma aparecen los números enteros negativos que son precedidos por el signo -, quienes unidos con el conjunto de números cardinales forman el conjunto de números enteros.

$\mathbb{Z} = \{- \infty,\ldots\,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\,+ \infty \}$

La imagen anterior se conoce como recta númerica y corresponde a una representación gráfica de los conjuntos númericos, en esta recta los números enteros son representados como puntos fijos separados a la misma distancia el uno del otro. Es preciso señalar que está recta se prolonga infinitamente hacia ambos lados.

Características:

Posee infinitos elementos.
No posee primer término.
Cada número entero tiene un sucesor:

$n + 1 , \forall\ n \in \ \mathbb{Z}$

Cada número entero posee un antecesor:

$n - 1 , \forall\ n \in \ \mathbb{Z}$

Operaciones: debido a la presencia de los enteros negativos la sustración cumple con la clausura, es decir la resta de números pertenecientes al conjunto siempre dará como resultado un número perteneciente al mismo conjunto, de esta forma la sustracción se define como:

$a - b \in \ \mathbb{Z},\ \forall\ a,b \in\ \mathbb{Z}$

Ejemplo:

$8 - 15 = -7 , -7 \in \mathbb{Z}$

[editar] Números racionales

Un pastel dividido en 4 porciones iguales.

La insuficiencia de los conjuntos anteriores para denominar partes de unidad provocó el origen de los números racionales, que permiten escribir partes o porciones de un número entero, en forma de cociente, el conjunto se representa como:

$\mathbb{Q} = \{x = \frac{p}{q}:p,q \in \mathbb{Z}, q\not= 0\}$

Para convertir un número decimal en forma fraccionaría, debemos fijarnos en sus decimales:

Si son finitos:

escribir el número sin comas.
dividirlo por potencias de 10 con tantos ceros como decimales tenga el número.

- Ejemplos:

$2,134 = \frac{2134}{1000}$
$5,23 = \frac{523}{100}$

Si son infinitos:

Al tener infinitos decimales los que se pueden repetir periodica o semiperiodicamente para simplificar la notación se agrega una barra sobre el los números repetidos una vez, ejemplo:

$1,333333333333333... = 1,\overline{3}$
$2,345112211221122... = 2,345\overline{1122}$

Para transformar estos números a fracción se debe:

Anotar el número con notación simplificada sin coma ni barra periódica.
Divirlotal número por tantos nueves como cifras bajola barra, y tantos ceros como decimales sin barra periódica.
Restar al númerador todo lo que no tenga barra, sin incluir las comas.

- Ejemplos:

$1,333333333333333... = 1,\overline{3} = \frac{13 - 1}{9}$
$2,345112211221122... = 2,345\overline{1122} = \frac{23451122 - 2345}{9999000}$

[editar] Números irracionales

Son todos aquellos números que no se puedes escribir como fracción, se puede designar al conjunto con el simbolo $\mathbb{Q}^{*}$ o $\mathbb{I}$ .

Entre los números irracionales más famosos están: $\pi, e, \phi, \sqrt{2}, \sqrt{3}$

[editar] Números reales

Los números reales corresponde a la unión de todos los conjuntos anteriores. Se usa la letra $\mathbb{R}$ para representar al conjunto.

[editar] Números imaginarios

[editar] Actividades

[editar] Referencias

Apuntes de preparación para la Prueba de Selección Universitaria Matemática 2008–2009 Pamela Paredes Núñez y Manuel Ramírez Panatt, Estudiantes de Licenciatura en Ciencias Exactas, Facultad de Ciencias, Universidad de Chile.

Proyecto: Educación media de Chile - Matemáticas

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