Colisiones en tres dimensiones

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Proyecto de aprendizaje: Colisiones

Contenido

1 Plano de colisión
2 Sistema de laboratorio
3 Sistema del centro de masas
4 Colisiones inelásticas
5 Referencias

[editar] Plano de colisión

Si únicamente actuan fuerzas centrales, en el sistema de laboratorio en que una partícula esta incialmente en reposo, todas las aceleraciones estarán dirigidas en cada momento en la dirección de la recta que une las dos partículas en colisión, por lo que dicha fuerza central entre dos partículas puede expresar como:

$\vec{F_1}(\vec{r})=f(\|\vec{r_2}-\vec{r_1}\|)\frac{(\vec{r_2}-\vec{r_1})}{\| \vec{r_2}-\vec{r_1}\|}$

(1)

Ahora bien, si la partícula blanco está en reposo, el vector velocidad inicial de la partícula incidente y la recta que une las dos partículas determinan un subespacio de dimensión menor o igual a 2. Podemos entonces elegir un sistema de coordenadas con el eje Z perpendicular a dicho plano y expresar la componente Z de la fuerza (1) del siguiente modo:

$F_{1z}(\vec{r})=m_1\ddot{z}_1=f(\|\vec{r_2}-\vec{r_1}\|)\frac{(z_2-z_1)}{\| \vec{r_2}-\vec{r_1}\|}$

(2)

y la condiciones iniciales son:

$\begin{Bmatrix} z_1(0)=z_2(0) \\ \dot{z}_1(0)=\dot{z}_2(0)=0 \\ \ddot{z}_1(0)=\ddot{z}_2(0)=0 \end{Bmatrix}$

(3)

Donde la condiciones iniciales para la acelaración se deduce sustituyendo en la ecuación (2) las condiciones iniciales para la coordenada Z.

Haciendo entonces la suposición de que la componente Z del vector de posición es una función del tiempo infinitamente derivable, deduciremos que la función $g(\|\vec{r_2}-\vec{r_1}\|)=\cfrac{1}{m_1}\cfrac{f(\|\vec{r_2}-\vec{r_1}\|)}{\| \vec{r_2}-\vec{r_1}\|}$ , también lo ha de ser. Si escribimos $\ddot{z}_1=g(\|\vec{r_2}-\vec{r_1}\|)(z_2-z_1)$ , se puede demostrar por inducción que:

$\cfrac{d^ng}{dt^n}=\sum_{i=0}^{n-1} {n-1 \choose i}\cfrac{d^ig}{dt^i}\left ( \cfrac{d^{n-1-i}z_2}{dt^{n-1-i}}-\cfrac{d^{n-1-i}z_2}{dt^{n-1-i}} \right )$

(4)

La ecuación (4) indica que cada derivada se puede expresar como un sumatorio de algo por derivadas de $(z 2 - z 1)$ de orden inferior a la dervada que se desea calcular, pero por las condiciones iniciales (3), se puede demostra por inducción que todos los términos de dicho sumatorio han de anularse y podremos utilizar el desarrollo de Taylor para determinar que $z 1 = z 2 = 0$ . Se puede concluir entonces que las partículas se mantienen en todo momento en el plano definido por la velocidad inicial de la particula incidente y la línea que une los dos puntos en el instante inicial.

[editar] Sistema de laboratorio

En el plano de colisión, se puede escribir la conservación de la energía y del momento lineal en la forma:

$\left . \begin{matrix} p_1=p'_1 \cos \theta_1+p'_2\cos \theta_2 \\ 0=p'_1 \operatorname{sen} \theta_1-p'_2 \operatorname{sen} \theta_2 \\ \cfrac{p_1^2}{2m_1}= \cfrac{p_1{'2}}{2m_1}+\cfrac{p_2^{'2}}{2m_2} \end{matrix} \right \}$

(5)

Donde las variables sin primar corresponden al caso antes del choque y las primadas, después del mismo. En (5) se conocen las masas y $p 1$ , por tanto quedan 4 incógnitas, los momentes y los ángulos finales y sólo 3 ecuaciones, por lo que nos encontramos con un sistema subdeterminado para el que existen diferentes estados finales para un mismo valor de $p 1$ . El sistema se convierte en determinado si se incluye el parámetro de impacto, que es un parámetro dificil de conocer el la mayoria de las situaciones que se encuentran en el laboratorio. Resolviendo las ecuaciones de conservación del momento lineal en función de $cosθ 1$ se llega a:

$p_1^2+p_1^{'2}-2p_1p_1^' \cos \theta_1=p_2'$

(6)

que al sustituirla en la ecuación de la conservació de la energía y resolviendo para $p 1'$ :

$\cfrac{p_1'}{p_1}=\cfrac{m_1}{m_1+m_2} \cos \theta_1 \pm \left [ \left ( \cfrac{m_1}{m_1+m_2} \cos^2 \theta_1 + \cfrac{m_1-m_1}{m_1+m_2} \right ) \right ]^{1/2}$

(7)

Una vez determinada $p 1'$ , se puede calcular $p 2'$ y $θ 2$ .

El anális de la ecuación (7) en función de la relación de masas permite extraer las siguientes conclusiones:

(a) Caso $m 1 > m 2$

En este caso el discriminante de (7) es negativo si $θ 1 > θ m$ , siendo

$\cos^2\theta_m=1-\cfrac{m_2^2}{m_1^2}; 0<\theta_m<\cfrac{\pi}{2}$

(8)

Por lo tanto $θ m$ es el ángulo máximo de desviación de la partícula 1 y en el caso $m 1 > > m 2$ , se concluye que \theta_m es proximo a cero, es decir, la partícula blanco no puede desviar significativamente al proyectil.

En particular $θ 1 = 0$ corresponde a los casos de ausencia de colisión (la partícula 1 pasa sin verse afectada por la 2) y a colisión frontal. Para este último caso se tiene que ambas partículas acaban desplazandose hacia adelante, siendo la más ligera la más veloz, ya que:

$\cfrac{p_1'}{p_1}=\cfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}; \theta_2=0; \cfrac{p_2'}{p_1}=\cfrac{2m_2}{m_1+m_1}$

(9)

de modo que $\cfrac{v_2'}{v_1'}=\cfrac{2m_1}{(m_1-m_2)}$ .

(b) Cuando las masas de las partículas son iguales:

$\cfrac{p_1'}{p_1}=\cos\theta_1; \cfrac{p_2'}{p_1}=\operatorname{sen}\theta_1; \theta_2=\cfrac{\pi}{2}-\theta_1$

(10)

Se ve que $\theta_1+\theta_2=\cfrac{\pi}{2}$ , es decir, en el sistema de laboratorio, dos partículas de la misma masa salen con una separación de 90º.

En general $θ 1$ varía desde 0 (sin colisión) a $\cfrac{\pi}{2}$ (colisión frontal, con transferencia total de momento de una a otra partícula).

(c) Cuando $m 1 > m 2$ , todos los valores $0\le\theta_1\le\pi$ son posibles. El caso de colisión frontal tiene como parámetros:

$\theta_1=\pi; \theta_2=0; \cfrac{p_1'}{p_1}=\cfrac{m_2-m_1}{m_2+m_1}; \cfrac{p_2'}{p_1}=\cfrac{2m_2}{m_2+m_1}$

(11)

[editar] Sistema del centro de masas

En el sistema centro de masas las ecuaciones que plasman la conservación del momento lineal y energía son:

$\begin{matrix} \|p_1\|=\|p_2\|=p \\ \|p_1'\|=\|p_2'\|=p' \\ \left ( \cfrac{1}{2m_1}+\cfrac{1}{2m_2} \right ) p_2= \left ( \cfrac{1}{2m_1}+\cfrac{1}{2m_2} \right )p_2' \end{matrix}$

(12)

De donde se deduce que $p = p'$ y por tanto el único dato que queda por determinar es $θ$

[editar] Colisiones inelásticas

Hasta ahora hemos tratado el caso en que se conserva energía cinética (colisiones elásticas). Cuando dicha energía no se conserva, la colisión se conoce como inelástica. Una representación es considerar que las partículas emergentes son diferentes a las incidentes:

$1+2 \rightarrow 3+4$

(13)

pudiendo ser $1 \equiv 3$ y $2 \equiv 4$ , salvo un cambio de energía interna.

Finalmente la expresión de las ecuaciones a resolver es:

$\begin{matrix} p_1=p_3\cos\theta_3+p_4\cos\theta_4 \\ 0=p_3\operatorname{sen}\theta_3-p_4\operatorname{sen}\theta_4 \\ T_1=T_3+T_4-Q \end{matrix}$

(14)

siendo $Q$ la energía absorbida o liberada.

[editar] Referencias

Rañada y Menéndez Luarca, Antonio (1990), Dinámica Clásica, Alianza Editorial, S.A. 84-206-8133-4.

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