Mecánica

Este curso pertenece al Departamento de Física.

Temario

• Cinemática
  • MRU
  • MRUA
  • MAS
  • MCU
• Dinámica
  • Masa inercial
  • Momento
  • Fuerza
  • Momento de una fuerza y momento de inercia
• Colisiones
  • Energía

Cinemática

La Cinemática (del griego kinos, movimiento) es la parte de la Mecánica que se encarga de estudiar el movimiento, independientemente de las causas que lo generan.

Para ello, lo primero es tener claras unas cuantas definiciones.

La Posición es el lugar en el espacio (tridimensional cartesiano) que ocupa un móvil, y queda completamente definida mediante tres coordenadas $x$, $y$ y $z$, o bien mediante el vector ${\vec {r}}$.

${\vec {r}}=\{x,y,z\}$

La variación de la posición con el tiempo la hallamos derivando, y esa derivada la definimos como Velocidad:

${\vec {v}}={\frac {{\mathrm {d} }{\vec {r}}}{{\mathrm {d} }t}}$

$\left\{{\begin{matrix}v_{x}&=&{\frac {{\mathrm {d} }x}{{\mathrm {d} }t}}\\v_{y}&=&{\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }t}}\\v_{z}&=&{\frac {{\mathrm {d} }z}{{\mathrm {d} }t}}\\\end{matrix}}\right.$

En ocasiones, al módulo de la velocidad se le llama celeridad o rapidez: $c=|{\vec {v}}|={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}$.

Movimiento Rectilíneo Uniforme (M.R.U.)

Cuando el vector velocidad, que acabamos de definir, es constante con respecto al tiempo, es decir, es constante en dirección y sentido, tenemos el tipo de movimiento que llamamos Movimiento Rectilíneo Uniforme. Rectilíneo, porque la velocidad no varía en dirección, y uniforme, porque no varía en módulo.

En general, la posición ${\vec {r}}$ es la integral de la velocidad:

${\vec {r}}(t)=\!\int \!{\vec {v}}\,\mathrm {d} t$

A su vez, el espacio recorrido $s$ es el módulo de la diferencia de posiciones:

$s(t)=\left|\!\int \!{{\vec {v}}\,\mathrm {d} t}-{\vec {r_{0}}}\right|=\left|{\vec {r}}(t)-{\vec {r_{0}}}\right|$

En los movimientos rectilíneos en general podemos obviar el carácter vectorial de la velocidad, definiendo como eje de trabajo el que coincide con la dirección de la velocidad, y como sentido positivo el de ésta:

$s(t)=\!\int \!{v\,\mathrm {d} t}-r_{0}=r(t)-r_{0}$

En el M.R.U., además, sabemos que la velocidad es una constante, y la podemos sacar de la integral:

$v=\mathrm {cte.} \ \Rightarrow \ \int \!{v\,\mathrm {d} t}=v\,t-r_{0}\ \Rightarrow \ s(t)=\left(v\,t-r_{0}\right)+r_{0}=v\,t$

Y si además definimos como origen del movimiento la posición inicial $r_{0}$:

$r_{0}=0\ \Rightarrow \ r(t)=v\,t\ \Rightarrow \ r(t)=s(t)$

Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (M.R.U.A.)

Si el vector velocidad varía, ya no estamos ante un M.R.U., sino ante un M.R.U.A.. El nombre proviene de una nueva magnitud, que mide, precisamente, la variación de la velocidad con respecto al tiempo: la Aceleración:

${\vec {a}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}$

Esta variación de la velocidad puede ser tanto de módulo como de dirección, al ser ésta vectorial. Si la aceleración es constante en dirección y sentido, y es paralela a la velocidad, ésta variará únicamente de módulo (y, en su caso, de sentido), pero no de dirección. En ese caso, hablamos de Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado.

Como la aceleración es la derivada segunda de la posición:

${\vec {a}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}{\vec {r}}}{\mathrm {d} t^{2}}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\!\left({\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}\right)$

Des esta forma, podemos hallar la posición como la integral segunda de la aceleración, que en este caso es constante:

${\vec {a}}=\mathrm {cte.} \ \Rightarrow \ {\vec {r}}=\!\int \!\!\!\int \!{\vec {a}}\,\mathrm {d} t^{2}={\frac {1}{2}}{\vec {a}}\,t^{2}+{\vec {v_{0}}}\,t+{\vec {r_{0}}}$

Si, como antes, prescindimos del carácter vectorial por definir el eje de trabajo como paralelo a la aceleración y a la velocidad, y su sentido positivo igual al de la aceleración, nos queda:

$a=\mathrm {cte.} \ \Rightarrow \ r=\!\int \!\!\!\int \!a\,\mathrm {d} t^{2}={\frac {1}{2}}a\,t^{2}+v_{0}\,t+r_{0}$

E igual que antes, como el espacio recorrido es $s=r-r_{0}$:

$s={\frac {1}{2}}a\,t^{2}+v_{0}\,t$

Además, operando con las ecuaciones anteriores podemos obtener otras como:

$\left(v+v_{0}\right)t=2\left(r-r_{0}\right)$ (útil si la aceleración no es ni dato ni incógnita)

$2\,a\left(r-r_{0}\right)=v^{2}-{v_{0}}^{2}$ (útil si el tiempo no es ni dato ni incógnita)