Trinomio cuadrado perfecto

Visualización de la fórmula para un binomio al cuadrado y para su trinomio cuadrado perfecto

Un Trinomio Cuadrado Perfecto, por brevedad TCP, es un polinomio de tres términos que resulta de elevar al cuadrado un binomio.

Todo trinomio de la forma:
$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\,\!$
es un trinomio cuadrado perfecto ya que
$(a+b)^{2}=(a+b)(a+b)=\,\!$
$=a^{2}+ab+ab+b^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\,\!$

Siendo la regla: Cualquier suma de binomios al cuadrado es igual al cuadrado del primer término, más el doble del primer por el segundo término, más el cuadrado del segundo término. De lo anterior resulta que un trinomio será cuadrado perfecto siempre que se cumplan las siguientes condiciones:

1. El polinomio pueda ser ordenado en potencias descendentes de una variable.
2. Dos de los términos son cuadrados perfectos.
3. El otro término es el doble producto de las raíces cuadradas de los demás.
4. El primer y tercer término deben de tener el mismo signo

Un trinomio cuadrático general de la forma $ax^{2}+bx+c\,\!$ es un TCP si se cumple que el discriminante es cero, es decir, que la cantidad $b^{2}-4ac\,\!$ es siempre igual a $0\,\!$.

También se considera un trinomio cuadrado perfecto de la forma: $a^{2}-2ab+b^{2}\,\!$, donde las mismas reglas explicadas anteriormente aplican.

Fórmula

Para convertir un binomio en un Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP) es necesario aplicar la siguiente fórmula: la primera cantidad elevada al cuadrado más 2 veces la primera cantidad por la segunda más la segunda cantidad elevada al cuadrado.

$A^{2}+2AB+B^{2}=(A+B)^{2}\,\!$

Ejemplo:

$(2a+3b)^{2}\,\!$

Aplicamos la fórmula:

$(2a+3b)^{2}=(2a)^{2}+2(2a)(3b)+(3b)^{2}\,\!=$

$4a^{2}+12ab+9b^{2}\,\!$

Para revertir el TCP a la suma de binomios al cuadrado original, es necesario hallar la raíz cuadrada de los dos primeros términos:

$4a^{2}+12ab+9b^{2}=\left({\sqrt {4a^{2}}}+{\sqrt {9b^{2}}}\right)^{2}=(2a+3b)^{2}\,\!$

Así queda demostrada la fórmula

Ejemplos

Sea:

$12xy+9x^{2}+4y^{2}\,\!$

Ordenando según las normas del álgebra, de más a menos $x\,\!$, resulta que:

$9x^{2}+12xy+4y^{2}\,\!$

Y podemos darnos cuenta de:

$9x^{2}=(3^{2})(x^{2})=(3x)^{2}\,\!$

$4y^{2}=(2y)^{2}\,\!$

$12xy=2(3x)(2y)\,\!$

Podemos averiguar que es un TCP ya que cumple con las normas:

$12xy+9x^{2}+4y^{2}=\left({\sqrt {9a^{2}}}+{\sqrt {4b^{2}}}\right)^{2}=(3x+2y)^{2}\,\!$

Sea:

${\frac {1}{4}}y^{4}z^{2}+w^{2}+wy^{2}z\,\!$

Ordenando respecto a la variable de mayor potencia ($y$) tenemos:

${\frac {1}{4}}y^{4}z^{2}+wy^{2}z+w^{2}\,\!$

evaluando el trinomio vemos que:

${\frac {1}{4}}y^{4}z^{2}=\left({\frac {1}{2}}y^{2}z\right)^{2}\,\!$

y

$w^{2}=(w)^{2}\,\!$

por último vemos que

$2\left({\frac {1}{2}}y^{2}z\right)(w)=wy^{2}z\,\!$

Entonces la expresión es un trinomio cuadrado perfecto.

Fuentes

• Trinomio cuadrado perfecto