Sucesiones numéricas. Progresiones

Sucesiones

Definición Es un conjunto ordenado de números. Cada uno de ellos es denominado término (también elemento o miembro) de la sucesión y al número de elementos ordenados (posiblemente infinitos) se le denomina la longitud de la sucesión.

Término general de una sucesión Se denomina término general de una sucesión, S, simbolizado como S_n, a la expresión que representa cualquier término de esta. Hay sucesiones cuyo término general puede expresarse mediante una fórmula, $S_{n}=f(n)$ en la cual, dándole a (n) un cierto valor, se obtiene el término correspondiente. Las sucesiones cuyos términos se obtienen a partir de los anteriores se denominan sucesiones recursivas.

Progresiones aritméticas

Definición

Una progresión aritmética es una sucesión en la que cada término se obtiene del anterior sumando una cantidad fija (positiva, negativa o cero), llamada diferencia común, que se suele denotar por la letra d.

Los términos de las progresiones aritméticas los podemos representar de la siguiente forma:

$a,a+d,a+2d,a+3d,a+4d\ldots$

Aquí, a es el término inicial y d es la diferencia común sucesiva.

Obtención del término general

El término general $a_{n}$ de una progresión aritmética cuyo primer término es $a_{1}$ y cuya diferencia es d se obtiene de la siguiente forma: Para pasar de $a_{1}\;a\;a_{n}$tenemos que dar n-1 pasos de amplitud d. Por lo tanto: $a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot d$

Suma de los términos de una progresión aritmética

La suma

$S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n}$ de los n primeros términos de una progresión aritmética de diferencia d es:

$S_{n}={\frac {(a_{1}+a_{n})\cdot n}{2}}$

Ejemplo

Sea $a_{1}=4\;y\;d=3$ La sucesión sería:

$S_{5}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}$

$S_{5}=4+7+10+13+16$

$S_{5}=4+(4+3)+(4+2\cdot 3)+(4+3\cdot 3)+(4+4\cdot 3)$

$S_{5}={\frac {(a_{1}+a_{5})\cdot 5}{2}}={\frac {(4+(4+4\cdot 3))\cdot 5}{2}}={\frac {20\cdot 5}{2}}=50$

Progresiones geométricas

Definición

Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene del anterior multiplicando una cantidad fija (positiva, negativa o cero), llamada razón común, que se suele denotar por r

Obtención del término general

El término general a_n de una progresión geométrica cuyo primer término es a₁ y cuya razón es r se obtiene razonando de esta manera: Para pasar de a₁ a a_n tenemos que dar n-1 pasos, consistiendo cada paso en multiplicar el término por r. Por lo tanto: $a_{n}=a_{1}\cdot r^{n-1}$

Suma de los términos de una progresión geométrica

La suma $S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n}$ de los n primeros términos de una progresión geométrica de razón r es: $S_{n}={\frac {a_{1}(1-r^{n})}{1-r}}$

Suma de los términos de una progresión geométrica con r<1

La suma de todos los términos de una progresión geométrica en la que su razón verifica 0<r<1 se expresa como $S_{n\rightarrow \infty }$ y se obtiene así: $S_{n\to \infty }={\frac {a_{1}}{1-r}}$

Ejemplo

Sea a₁=5 y r=0.8

$S_{3}=a_{1}+a_{2}+a_{3}$

$S_{3}=5+5\cdot 0.8+5\cdot 0.8^{2}$

$S_{3}={\frac {5(1-0.8^{3})}{1-0.8}}$

$S_{3}=12.2$

por otro lado, si prolongamos la suma hasta el infinito

$S_{n\to \infty }={\frac {a_{1}}{1-r}}={\frac {5}{1-0.8}}$

$S_{n\to \infty }=25$