Diferencia entre revisiones de «Matemática II(UNI)»

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=== Ángulos de una secante a dos rectas ===
=== Ángulos de una secante a dos rectas ===
En principio el interés recae en la secante a dos rectas sobre la cual aparecen dos vértices para distintos ángulos. Se prioriza el uso de secante a dos rectas paralelas pues si no son paralelas aparece un triángulo del cual ya se hablará en profundidad después.
El interés recae en la secante a dos rectas sobre la cual aparecen dos vértices para distintos ángulos. Se prioriza el uso de secante a dos rectas paralelas pues si no son paralelas aparece un triángulo del cual ya se hablará en profundidad después.


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::<math>\alpha \,y\,\alpha' ,\, \beta \,y\, \beta' ,\, \gamma \,y\, \gamma' ,\, \delta \,y\, \delta'</math>
::<math>\alpha \,y\,\alpha' ,\, \beta \,y\, \beta' ,\, \gamma \,y\, \gamma' ,\, \delta \,y\, \delta'</math>

Véase que el caso de recta secante a otras dos paralelas solo aparecen dos únicas medidas angulares que son suplementarias, esto permite saltar de unas rectas a otras que son sus paralelas cómodamente.


==== Ejercicios ====
==== Ejercicios ====

Revisión del 11:12 29 jul 2015

El contenido de este curso viene definida por del reglamento de la Universidad Nacional de Ingeniería(UNI)(Perú):

  • Geometría
  • Trigonometría

Nociones básicas

Figura geométrica

Los primeros estudios rigurosos realizados en el campo de la geometría datan del 300 a.C. en la obra Los elementos asociada a Euclides cuya abstracción y metodología usada es aún hoy vigente.

Generalizando se puede definir figura geométrica como aquella que puede determinarse mediante puntos del plano o del espacio.

Ejemplo de figuras geométricas básicas

  • Punto.
  • Rectas o porciones de las mismas definidas por puntos.
  • Circunferencias o porciones de las mismas definida por puntos.
  • Cualquier gráfica.
  • Plano o porciones del mismo definidas por o mediante las figuras anteriores.

También se puede definir figura geométrica como cualquier combinación de las anteriores figuras geométricas.

Representación, definiciones y notaciones

La representación y nominación de las figuras geométricas vienen estilizadas, en contra de los usos y ausencias de convenios en la Geometría, como:

El punto

Axioma

El punto es el elemento que no puede ser dividido en partes.[nota 1]

Representado como un punto y entendida como un elemento sin extensión.[nota 2]

Su denominación se hace mediante letras mayúsculas: A, B, C, D, E, F, G, H, ...

La recta

Definición

La recta es el conjunto de puntos que forman una línea recta que se extiende indefinidamente en dos orientaciones opuestas.

Su representación debería ser una infinidad de puntos describiendo una línea recta que se extiende infinitamente es decir sin extremos pero debido a las limitaciones y costumbres locales se hace mediante un segmento con flechas en cada extremo para indicar su continuidad indefinida.

Notación: se hace mediante una "L" estilizada de una forma muy peculiar y seguida de subíndices a diferencia de la usada en el resto del mundo y es decir letras minúsculas:

L1

Una segunda nominación de la recta se hace mediante dos puntos y un símbolo que emula una recta:

Ya que:

Axioma

Por dos puntos cualesquiera pasa una única recta.


Diremos que dos rectas son paralelas cuando comparten las mismas orientaciones.

  • Si dichas rectas comparten un punto diremos que son coincidentes.

Notación: si dos rectas son paralelas escribiremos L1 || L2 o si las dos paralelas están definidas por dos puntos, entonces se escribe o para el caso mixto L1

El plano

Representada como un paralelogramo y su nombre en letra mayúscula encerrada con un arco.

Notación: se usa la misma letra mayúscula seguida de un paralelogramo pequeño.

El segmento

Es una figura geométrica rectilínea que entendida como porción de una recta, delimitada por dos puntos, tiene la definición siguiente:

Definición

Un segmento, de una recta, es el conjunto de todos los puntos situados entre dos puntos dados cualesquiera de dicha recta.[nota 3]

  • El par de puntos que define cada segmento se llaman extremos del segmento.

Representado por una porción de recta con principio y fin, es decir, que une dos puntos.

Notación: Dado un segmento de extremos A y B, entonces se notará como

Longitud del segmento

Para medir longitudes se utilizan unidades de distancia establecidas previamente, podemos definirla como:

Definición

La longitud de un segmento es la distancia entre sus dos extremos.[nota 4]

La longitud de se representa como o simplemente usando una letra minúscula: a, b, c, ...

El rayo

Es una figura geométrica rectilínea que entendida como una de las dos partes en que un punto divide a una recta, tiene la definición geométrica siguiente:

Definición

Un rayo, de una recta, es el conjunto de todos los puntos situados a un mismo lado de un punto sobre dicha recta.[nota 5]

  • El punto que determina el rayo se llama extremo.
  • Todo rayo solo tiene un extremo.
  • Se puede decir que el rayo se extiende hacia el infinito con un mismo rumbo u orientación

Llamaremos rayo opuesto al que con el mismo extremo se extiende en la otra orientación de la misma recta.

Notación: Dado el origen A y un punto cualquiera B de un rayo, entonces lo notaremos por

Ejercicios

1. Dados tres puntos consecutivos A, B y C sobre una misma recta, se tiene que la medida del segmento c= es de 55 metros, y a= es de 11 metros. ¿Cuantos metros tiene b=?.
Solución
Como a+b=c, al aislar b, se obtiene que b=c-a, por tanto b=55-11, es decir, c=44 metros.
2. Dado el ejercicio anterior con b=18 metros y a=b. ¿Como se llama el punto B?. ¿Cuantos metros tiene c?.
Solución
El punto B se llama punto medio de A y C, por que equidista a dichos puntos, es decir, que la longitud de A a B es la misma que la de B a C. La longitud de c es de 36 metros, pues es la suma de ambas distancias.
3. Dado el ejercicio inicial, si b es 5 veces más grande que a, ¿como lo representamos?
Solución
Se escribe como b=5a y se representa como:
4. Dado el ejercicio inicial, nos dicen que 3a=2b, ¿como lo representamos?
Solución
Se busca mcm(3,2)=6 y se crea las ecuaciones 6d=3a y 6d=2b, es decir, 2d=a y 3d=b, es decir que se puede representar como:

Véase que es cuestión de intercambiar los papeles de las constantes, aunque el mcm es más optimo.

Ángulos

En esta sección se detallan definiciones, propiedades, ejercicios y estrategias para trabajar con los ángulos.

El ángulo

Es una figura geométrica plana, entendida como dos rayos que comparten un mismo origen:

  • El origen o punto en común se llama vértice.
  • Los rayos son llamados lados.

Si esta fuera realmente la definición estricta del ángulo, entonces un triángulo no tendría ángulos por estar formado de segmentos y no de rayos.

Al entender el ángulo, como un concepto "local"[nota 6] al punto que comparten los dos rayos, aparecen diversos tipos de ángulos combinando rectas, rayos, segmentos y arcos de circunferencia arbitrariamente a los cuales llamaremos lados indistintamente.

Notación: Un ángulo queda determinado por tres puntos, en el orden siguiente de la imagen, donde es el vértice y por tanto ocupa la parte central.[nota 7]

Medida del ángulo

Dado un ángulo, al considerar que un lado está fijo y el otro tiene un movimiento de rotación articulado en su vértice, permite definir diferentes unidades de medidas de angulares, dividiendo una vuelta en diferentes partes, la más común son los grados sexagesimales.

1 vuelta = 360 grados.
vuelta = 90 grado(un ángulo recto).

Notación: La medida de un ángulo se indica con una m delante del mismo y su valor se puede llamar a su vez por una letra griega:, , , ,

Clasificación de los ángulos

Considerando los ángulos menores que 180º tenemos la siguiente clasificación

Según su medida
Ángulo agudo si es
Ángulo recto si es
Ángulo obtuso si es

Ángulos consecutivos

Dos ángulos son consecutivos si comparten el vértice y un lado.

Ángulos adyacentes

Se dice de los ángulos consecutivos que están a distinto lado del lado común.[nota 8]

Ángulos complementarios

Dos ángulos son mutuamente complementarios si sus medidas suman 90º.

  • En estos casos diremos que un ángulo es el complemento del otro o complementario al otro.
  • No es obligatorio que sean consecutivos.

Ángulos suplementarios

Dos ángulos son mutuamente suplementarios si sus medidas suman 180º.

  • En estos casos diremos que un ángulo es el suplemento del otro o suplementario al otro.
  • No es obligatorio que sean consecutivos.

Ejercicios

1. Dada la representación de ángulos adjunta, se tiene que y ¿Cuantos grados mide ?
Solución
Como , entonces aislando , es decir, y por tanto .
2. Dado el ejercicio anterior con y . ¿Como se llama el rayo ¿Cuantos grados tiene
Solución
Dicho rayo se llama bisectriz del ángulo que mide
3. Dado el ejercicio inicial, si es 2 veces más grande que , ¿como lo representamos?
Solución
Se escribe:
4. Dado el ejercicio inicial, nos dicen que , ¿como lo representamos?
Solución
Igual que en los ejercicios de segmentos, se tiene que el mcm(3,2)=6 y resulta que y , representable como:
5. Nos dicen que y que ¿como lo representamos?

¿Como se llama el rayo respecto <BAD?

Solución
Se tiene que el mcm(2,3,5)=30 como se repite las ecuaciones deberían ser , simplificando resulta que , y

Véase que comparando podemos deducir los valores de

El rayo es la bisectriz de <BAD.

Ángulos opuestos por el vértice

Diremos dos ángulos son mutuamente opuestos por el vértice un ángulo y el ángulo formado por los rayos opuestos del primero.

Supongamos que sus medidas son y , entonces se cumple que:

Para ir de <EAC hasta <BAD, ambos de 180º, tenemos que restarle la medida y sumarle a la medida del primero, resultando:
180º-=180º

al simplificar se tiene que

El uso trigonométrico del ángulo puede dar una definición más general en cuanto a medidas de ángulo se refiere, por ejemplo, un ángulo de no tiene sentido en geometría, pues tal medida coincide con el concepto de línea recta y es decir que no tiene ángulo por ser recta. Luego también se tiene el concepto de orientación del ángulo que, en trigonometría, es la orientación horaria(negativa) y anti horaria(positiva) y para medir se tiene que fijar el lado a partir del cual se empieza a medir.

En la práctica viendo el ángulo como el giro o desviación de un cuerpo sobre una recta, podemos simplificar muchos problemas, véase las interpretaciones geométricas equivalentes:

Ejercicios

1. Dada la representación de ángulos adjunta, ¿como se llama el rayo respecto de <CAD?, ¿que valor tiene ?
Solución
Este es un buen ejemplo de como mediante ángulos opuestos se consigue ocultar la naturaleza del ejercicio. Lo primero es usar dicho método de ángulos opuestos para expresar todos los ángulos en un solo lado de la recta definida por A y C, luego claramente a lado y lado del rayo se tienen ángulos consecutivos cuya suma de medidas es y por tanto se trata de una bisectriz, al considerar <CAD como un ángulo de 180º se tiene que:
= 90º.
2. Un avión(en azul) ejecuta diferentes correcciones de su nuevo rumbo(en rojo).¿Qué ángulo hay entre los rumbos definidos por las rectas L1 y L2?
Solución
Solo tenemos que leer los ángulos y su orientación(horario o anti horario, o también izquierda o derecha). Al hacer la lectura de cada corrección se tiene:

Del cual podemos simplificar por tener lectura opuesta y resulta por tanto que la desviación total es 80º.

Ángulos de una secante a dos rectas

El interés recae en la secante a dos rectas sobre la cual aparecen dos vértices para distintos ángulos. Se prioriza el uso de secante a dos rectas paralelas pues si no son paralelas aparece un triángulo del cual ya se hablará en profundidad después.

Ángulos internos Son los ángulos que quedan comprendidos entre las dos rectas paralelas.

Ángulos externos Son los ángulos que no son internos.

Los siguiente ángulos no comparten vértice:

Ángulos alternos internos

Son los ángulos que quedan comprendidos entre las dos rectas paralelas y a distinto lado de la secante.

Ángulos alternos externos

Son los ángulos que no son internos y quedan a distinto lado de la secante.

Ángulos correspondientes

Son los ángulos que a un mismo lado de la secante, uno es externo y el otro interno.

Véase que el caso de recta secante a otras dos paralelas solo aparecen dos únicas medidas angulares que son suplementarias, esto permite saltar de unas rectas a otras que son sus paralelas cómodamente.

Ejercicios

1. Un automóvil circula con dirección L0, luego gira a la derecha y toma la dirección L2, y luego con un giro a la izquierda se incorpora en una calle con dirección L1. Si nos dicen que y que L0 || L1,¿que valor tiene ?

Simetrías

Hallar una simetría de una figura geométrica consistirá en encontrar el eje de simetría, es decir los puntos de recta que equidistan a cada punto de la figura analizada y su punto simétrico.

  • Se omitirá la simetría que pueda ter los conjuntos de puntos colineales(alineados) por la recta que los contiene.
  • Dos puntos siempre tienen un eje de simetría, es la recta pasa por el punto medio de los dos puntos(por equidistancia a la recta).
  • Un segmento tiene el mismo eje de simetría que el de sus dos extremos.
  • Un ángulo tiene un eje de simetría que pasa por su vértice y contiene la bisectriz.
  • Se puede considerar que una circunferencia tiene infinitos ejes de simetría y todos pasan por el centro de la misma.
  • Se puede considerar que dos rectas paralelas tienen infinitos ejes de simetría perpendiculares a las mismas y un solo eje de simetría paralelo a dichas dos rectas y que transcurre entre ellas.

Ejercicios

Triángulos

Notas

  1. Este axioma figura en Los elementos, pero es más antiguo, ya que aparece con naturalidad en los escritos de las discusiones de las paradojas de Zenon como el de La dicotomía.
  2. La representación de un punto como el punto que tiene en común dos rectas que se cortan es la más recomendada y adecuada en otras áreas como el dibujo técnico.
  3. Aunque precisa sigue siendo una definición poco usada, lo normal en textos matemáticos puede ser algo como: donde donde es la recta sobre la que se intenta definir un segmento con A y B.
  4. La definición de distancia es lo primero que se hace para establecer longitudes o magnitudes, estas pueden tener distintas notaciones según el área de las matemáticas que se estudie: d(A,B) o .
  5. El nombre académico más conocido y usado es el de semirrecta habiendo dos tipos principalmente, una abierta y otra cerrada. El uso actual puede ser del tipo para el caso cerrado y para el caso abierto.
  6. Aquí local es usado como sinónimo de proximidad o cercanía en este caso al punto compartido por los dos rayos
  7. La orientación del ángulo también es importante para la trigonometría, para distinguir el sentido horario del anti horario . Otras notaciones también son válidas en otros textos como e incluso cuando no hay posibilidad de equivocarse.
  8. Hay importantes referencias en inglés y español que indican la obligatoriedad de que los lados no comunes pertenezcan a una recta, es decir, sean rayos opuestos de una recta. Pero hay otras referencias en francés que solo requieren un lado común y la intersección de las regiones angulares ha de ser dicho lado común.