Sucesiones numéricas. Progresiones

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Sucesiones[editar]

Definición Es un conjunto ordenado de números. Cada uno de ellos es denominado término (también elemento o miembro) de la sucesión y al número de elementos ordenados (posiblemente infinitos) se le denomina la longitud de la sucesión.

Término general de una sucesión Se denomina término general de una sucesión, S, simbolizado como Sn, a la expresión que representa cualquier término de esta. Hay sucesiones cuyo término general puede expresarse mediante una fórmula, S_n=f(n) en la cual, dándole a n un cierto valor, se obtiene el término correspondiente. Las sucesiones cuyos términos se obtienen a partir de los anteriores se denominan sucesiones recursivas.

Progresiones aritméticas[editar]

Definición

Una progresión aritmética es una sucesión en la que cada término se obtiene del anterior sumando una cantidad fija (positiva, negativa o cero), llamada diferencia común, que se suele denotar por la letra d.

Los términos de las progresiones aritméticas los podemos representar de la siguiente forma:

 a, a+d, a+2d, a+3d, a+4d\ldots

Aquí, a es el término inicial y d es la diferencia común sucesiva.

Obtención del término general

El término general a_n de una progresión aritmética cuyo primer término es a_1 y cuya diferencia es d se obtiene de la siguiente forma: Para pasar de a_1 \; a \;a_n tenemos que dar n-1 pasos de amplitud d. Por lo tanto: a_n= a_1+(n-1)\cdot d

Suma de los términos de una progresión aritmética

La suma

S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{n} de los n primeros términos de una progresión aritmética de diferencia d es:
S_n=\frac{(a_1+a_{n}) \cdot n}{2}

Ejemplo

Sea a_1 = 4 \; y \; d=3 La sucesión sería:

S_5 = a_1+a_2+a_3+a_4+a_5
S_5=4+7+10+13+16
S_5 = 4 + (4+3) + (4+2 \cdot 3)+ (4+3 \cdot 3 )+(4+ 4 \cdot 3)
S_5=\frac{(a_1+a_5) \cdot 5}{2}=\frac{(4+(4+4 \cdot 3))\cdot 5}{2} =\frac{20\cdot 5}{2}=50

Progresiones geométricas[editar]

Definición

Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene del anterior multiplicando una cantidad fija (positiva, negativa o cero), llamada razón común, que se suele denotar por r

Obtención del término general

El término general an de una progresión geométrica cuyo primer término es a1 y cuya razón es r se obtiene razonando de esta manera: Para pasar de a1 a an tenemos que dar n-1 pasos, consistiendo cada paso en multiplicar el término por r. Por lo tanto: a_n=a_1 \cdot r^{n-1}

Suma de los términos de una progresión geométrica

La suma S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n de los n primeros términos de una progresión geométrica de razón r es: S_n=\frac{a_1(1-r^n)}{1-r}

Suma de los términos de una progresión geométrica con r<1

La suma de todos los términos de una progresión geométrica en la que su razón verifica 0<r<1 se expresa como S_{n \rightarrow \infty} y se obtiene así: S_{n \to \infty}=\frac{a_1}{1-r}

Ejemplo

Sea a1=5 y r=0.8

S_3=a_1+a_2+a_3
S_3=5+5\cdot 0.8+ 5 \cdot 0.8^2
S_3=\frac{5(1-0.8^3)}{1-0.8}
S_3=12.2

por otro lado, si prolongamos la suma hasta el infinito

S_{n \to \infty}=\frac{a_1}{1-r}=\frac{5}{1-0.8}
S_{n \to \infty}=25