Curso de Álgebra Lineal

De Wikiversidad

[editar] 1. Noción de Cuerpo

Definición: Diremos que $F\neq \emptyset$ es un cuerpo si en $F$ son definidas dos operaciones, {+, ·}, conmutativas y asociativas tales que:

+ cumple con:

a) $(\exists 0_{F} \in F): (\forall x \in F), 0_{F}+x=x+0_{F}=x$

b) $(\forall x \in F), (\exists (-x) \in F): x+(-x)=0_{F}$

· cumple con:

a) $(\exists 1_{F} \in F):(\forall x \in F) 1_{F}\cdot x=x\cdot 1_{F}=x$

b) $(\forall x \in F, x \ne 0) \exists (x)^{-1} \in F:x\cdot x^{-1}= 1_{F}$

Ademas, $(\forall x_1,x_2,x_3 \in F) x_1\cdot (x_2+x_3) = x_1\cdot x_2 + x_1\cdot x_3$

[editar] 2. Espacios Vectoriales

Sea V un conjunto de vectores y F un cuerpo. Sean $x= (x_1 , x_2 , ..., x_n) \, \, y = (y_1 ,y_2 ,...,y_n)$ dos vectores del conjunto V. Sobre el conjunto de vectores, podemos definir operaciones de suma y ponderación por escalar, de la siguiente manera:

$x+y=(x_1+y_1 , x_2+y_2 , ... , x_n+y_n) \in V$

Sea $\lambda \in F$ : $\lambda x= \lambda(x_1,x_2,...,x_n) = (\lambda x_1, \lambda x_2,...,\lambda x_n) \in V$

Definición:

Sea $V \ne \emptyset$ un conjunto de vectores y F un cuerpo. Diremos que V es un Espacio Vectorial sobre el cuerpo F, si se pueden definir en V operaciones {+, ·} tales que: