Campo eléctrico

De Wikiversidad
Saltar a: navegación, buscar

Introducción: fuerza y carga eléctrica[editar]

Si definimos la fuerza F entre dos cargas Q_1 y Q_2, separadas por una distancia d, entonces:

F = k \frac {Q_1 Q_2}{d^2}

Donde la fuerza se expresa en N (Newtons)

Dado un sistema de coordenadas donde r_1 es el vector de posición absoluto de la carga Q_1, y r_2 el vector de posición absoluto de la carga Q_2, podemos expresar la fuerza de forma vectorial:

\vec F = k \frac {Q_1 Q_2}{d^2} \vec u_{Q_1 - Q_2}

\vec u_{Q_1 - Q_2} es un vector unitario que pasa por las cargas Q_1 y Q_2 en el sentido indicado por la ley de Coulomb, pero teniendo en cuenta el principio de acción y reacción de Newton.

Para calcular directamente las fuerzas que actúan sobre cada partícula:

\vec F_A = k \frac {Q_1 Q_2}{\vert \vec r_1 - \vec r_2 \vert^3}(\vec r_1 - \vec r_2)

\vec F_B = k \frac {Q_1 Q_2}{\vert \vec r_1 - \vec r_2 \vert^3}(\vec r_2 - \vec r_1)

Definición de campo eléctrico[editar]

El campo eléctrico es una abstracción para entender qué fuerzas actúan sobre una partícula  Q_P sometida a la interacción de un conjunto de n cargas \sum\limits_{i = 1} ^{n} Q_i.

La fuerza \vec F que actúa sobre una partícula Q_P sometida a un campo eléctrico \vec E, se calcula como:

\vec F = Q_P \vec E

Cuya unidad es el \frac{N}{C}. Al módulo del vector de campo \vec E que actúa sobre un punto concreto del espacio se le conoce como intensidad de campo eléctrico.

La expresión de campo eléctrico producido por un conjunto de n cargas Q_i sobre un punto P sería:

k \sum\limits_{i = 1} ^{n} \frac{Q_i(\vec r_P - \vec r_i)}{\vert \vec r_P - \vec r_i \vert^3}


Campo eléctrico y distribución espacial de la carga[editar]

Según cómo se distribuya la carga en el espacio, podemos encontrar diferentes expresiones de campo eléctrico.

Distribución a lo largo de una línea de grosor despreciable[editar]

Se define la densidad linear de carga Q distribuida unofmrmemente en una línea de grosor despreciable como:

\lambda = \frac{dQ}{dL}

Pudiéndose encontrar en ocasiones como:

\lambda = \frac{Q}{L}

Distribución a lo largo de una superficie de grosor despreciable[editar]

Se define la densidad superficial de caga Q distribuida uniformemente en una superficie S de grosor despreciable como:

\sigma= \frac{dQ}{dS}

Pudiéndose encontrar en ocasiones como:

\sigma = \frac{Q}{S}

Distribución a lo largo de un volumen[editar]

Se define la densidad volumétrica de carga Q distribuida uniformemente en un volumen V como:

\rho = \frac{dQ}{dV}

Pudiéndose encontrar en ocasiones como:

\rho = \frac{Q}{V}

Campo eléctrico producido por una distribución unforme de carga en una volumen[editar]

A partir de las expresiones anteriores, podemos calcular el campo que produce una carga Q distribuida uniformemente en un volumen V.

Si hemos definido \rho como:

\rho = \frac{dQ}{dV}

Expresamos Q en función de \rho como:

 dQ = \rho dV

 Q = \int \limits_V \rho dV

Con lo cual el campo eléctrico \vec E_P en un punto dado por el vector \vec r_P queda definido como:

\vec E_P = k \int \limits_V  \frac{\rho dV}{\vert \vec r_P - \vec r_\rho \vert^2} (\vec r_P - \vec r_\rho)

Desarrollamos la expresión:

k \int \limits_V  \frac{\rho dV}{\vert \vec r_P - \vec r_\rho \vert^2} (\vec r_P - \vec r_\rho) = k \int \limits_V  \frac{\rho}{\vert \vec r_P - \vec r_\rho \vert^3} \vec r_P dV - k \int \limits_V  \frac{\rho}{\vert \vec r_P - \vec r_\rho \vert^3} \vec r_ \rho dV

Y puesto que:

k \int \limits_V  \frac{\rho}{\vert \vec r_P - \vec r_\rho \vert^3} \vec r_ \rho dV

Representa un vector nulo  \int \limits_V \vec r_{P} dV, no afecta a la expresión de campo:

\vec E_P = - k \int \limits_V  \frac{\rho}{\vert \vec r_P - \vec r_\rho \vert^3} \vec r_ \rho dV

Flujo eléctrico[editar]

El flujo eléctrico \phi es la cantidad de campo eléctrico E que incide en una superficie S con un área A.

Su expresión más general se escribe como:

\phi = E A cos \theta = \vec E o \vec A

Y se expresa en \frac{Nm^2}{C}, lo que equivale a un Voltio por metro V m

Expresión general de flujo eléctrico a través de cualquier superficie[editar]

Dado que en una superficie irregular el flujo varía tanto en intensidad como en el vector que forma con la normal de la superficie, definimos:

d \phi = E dA cos \theta = \vec E o d \vec A

Si integramos:

\phi = \int_S \vec E o d \vec A

Ahora consideremos el caso del flujo eléctrico \phi_C de una superficie cerrada. Si utilizamos el símbolo \oint para referirnos a la integral de una superficie cerrada, la expresión de flujo eléctrico que atraviesa esa superficie queda determinada por:

\phi_C = \oint_S \vec E o d \vec A= \oint_S E_n o d \vec A

Siendo E_n una componente normal (\approx perpendicular) a la superficie cerrada.

Ley de Gauss[editar]

Si en una superficie cerrada sin carga el flujo total que la atraviesa es nulo, la ley de Gauss establece la relación que existe entre el flujo eléctrico neto que atraviesa una supercie con una carga neta Q_{int} en su interior.

Definición[editar]

\Phi_C = \oint \vec E o d \vec A = \frac{Q_{int}}{\epsilon_0}

Siendo \vec E el campo eléctrico creado por Q_int y el resto de campos que atraviesan la supercicie. Se puede utilizar en sentido inverso para calcular el campo eléctrico que crea una distribución cualquiera de cargas; aunque, por comodidad, sólo suele hacerse en casos elementales.

Demostración[editar]

Se parte de una esfera hueca de radio r y espesor despreciable con una carga puntual Q_int situada en su centro. Según la ley de Coulomb, el campo eléctrico en cualquier punto de la superficie es:

E = k \frac {q}{r^2}

El flujo neto que atraviesa la esfera es el siguiente:

\Phi_C = \oint E_n d \vec A = E \oint d \vec A = \frac{kq}{r^2}

Si sustituimos la expresión de campo eléctrico y consideramos que el radio de una esfera es 4 \pi r^2 obtenemos:

\Phi_C = \frac{kq}{r^2} (4 \pi r^2) = 4 \pi k q(

Y si consideramos el valor de la constante k (k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}):

\Phi_C = \frac{q}{\epsilon_0}

Aplicaciones[editar]

Esfera uniformemente cargada[editar]

Para una esfera de radio R con una carga Q distribuida, calculamos el campo eléctrico en cualquier punto exterior situado a una distancia r del centro: siendo r > R.

\phi_C = \frac{Q}{\epsilon_0} = EA \iff e= \frac{Q}{\epsilon_0 4 \pi r^2} = k \frac{Q}{r^2}

   Es decir, equivale al campo eléctrico que produce una carga puntual Q en el centro de la esfera.

Ahora calcularemos el campo eléctrico en cualquier punto interior situado a una distancia r del centro: siendo r < R.

\phi_C = \frac{Q_int}{\epsilon_0} = E 4 \pi r^2 Q_int = \rho \frac{4}{3} \pi r^3 \rightarrow \rho = \frac{Q}{V} = \frac{Q}{\frac{4}{3} \pi R^3} \rightarrow Q_int = Q {r^3}{R^3}

Sustituyendo en la expresión anterior obtenemos:

E = k \frac{Q}{R^3}r

   En este caso, la expresión del campo en interior de la esfera es menor que en el exterior. Si aplicamos un cociente de 
   radios \frac{r}{R} a la expresión de campo obtenida para cualquier punto exterior a la esfera,llegamos a la misma conclusión.

Conductores en equilibrio electrostático[editar]

Si consideramos un conductor en equilibrio electrostático (las cargas negativas igualan a las positivas) sometido a un campo eléctrico, y aplicamos la ley de Gauss:

\Phi_C = \oint \vec E o d \vec A = \frac{Q_{int}}{\epsilon_0}

\Phi_C = E \oint d \vec A = \frac{Q_{int}}{\epsilon_0}

En la superficie (S = \int d \vec A) donde incide el campo \vec E:

\sigma = \frac{Q}{S} = \epsilon_0(-E)

En la superficie (S = \int d \vec A) donde sale el campo\vec E:

\sigma = \frac{Q}{S} = \epsilon_0(E)

   Con lo que las cargas positivas y negativas tienden a distribuirse en polos opuestos