Cálculo de la probabilidad de error para las diferentes modulaciones

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Contenido

1 Conceptos previos
- 1.1 Relacion prob. de error de simbolo y prob. de error de bit
2 Demodulacion
3 ASK
4 4ASK
5 M-ASK
6 FSK
7 BPSK
8 QPSK
9 MSK
10 4PSK
11 M-PSK
- 11.1 Comparacion grafica de M-ASK y PSK
12 16-QAM
13 M-QAM rectangular
- 13.1 Comparacion grafica entre M-QAM y M-PSK

[editar] Conceptos previos

$M :$ Numero de estados diferentes

$E b :$ Energía por bit

$E s :$ Energía por símbolo

$E s c :$ Energía por symbol-carrier, por portadora

$P b :$ Probabilidad de error de bit

$P s :$ Probabilidad de error de símbolo

$P s c :$ Probabilidad de error de simbolo-carrier, por portadora

$P b c :$ Probabilidad de error de bit-carrier, por portadora

La relación entre la energía por bit y por símbolo:

$\begin{align} & k=\log _{2}\left( M \right) \\ & E_{s}=k\cdot E_{b}=\log _{2}\left( M \right)\cdot E_{b} \\ \end{align}$

Tiene lógica que necesitemos mas energía por símbolo, pues en un solo símbolo podemos transmitir 2,3,4… bits, por lo que la energía necesaria para transmitir un solo bit sería la mitad, un tercio, un cuarto ….

Nuestra modulación digital podemos representarla como:

$s_{T}(t)=A_{c}\sum\limits_{k=-\infty }^{\infty }{a_{I_{k}}p\left( t-kT_{s} \right)\cos \left( \omega _{c}t \right)-A_{c}\sum\limits_{k=-\infty }^{\infty }{a_{Q_{k}}p\left( t-kT_{s} \right)\sin \left( \omega _{c}t \right)}}$

Al demodular, tendremos bien la señal in-phase o la quadrature. Por ejemplo, al demodular la in-phase:

$y_{R}(t)=A_{c}\sum\limits_{k=-\infty }^{\infty }{a_{I_{k}}p\left( t-kT_{s} \right)}$

La energía de esta señal $a_{I_{k}}$ ( o de $a_{Q_{k}}$ ) la llamamos $E s c$ . Como la señal in-phase y quadrature son independientes entre ellas, es lógico pensar que, del numero total de bits/símbolo de la modulación digital, cada una de ellas nos proporciona la mitad de bits, por lo que: $E s = 2 E s c$ . Por ejemplo:

Modulacion	$M$	$\log _{2}\left( M \right)$ (bits)	$a_{I_{k}}$ (bits)	$a_{Q_{k}}$ (bits)
$Q P S K$	$4$	$2 b i t s$	$1 b i t$	$1 b i t$
$16 - Q A M$	$16$	$4 b i t s$	$2 b i t s$	$2 b i t s$
$64 - Q A M$	$64$	$6 b i t s$	$3 b i t s$	$3 b i t s$

$\begin{align} & s_{T}(t)=\underbrace{A_{c}\sum\limits_{k=-\infty }^{\infty }{a_{I_{k}}p\left( t-kT_{s} \right)\cos \left( \omega _{c}t \right)}}_{E_{sc_{1}},P_{sc_{1}}}-\underbrace{A_{c}\sum\limits_{k=-\infty }^{\infty }{a_{Q_{k}}p\left( t-kT_{s} \right)\sin \left( \omega _{c}t \right)}}_{E_{sc_{2}},P_{sc_{2}}}\to \\ & E_{sc_{1}}=E_{sc_{2}} \\ & E_{s_{TOT}}=E_{sc_{1}}+E_{sc_{2}}\to E_{s}=2\cdot E_{sc} \\ & E_{s}=\log _{2}\left( M \right)\cdot E_{b} \\ & E_{sc}\to P_{sc} \\ & E_{s}\to P_{s} \\ & P_{s}=1-\left( 1-P_{sc_{1}} \right)\cdot \left( 1-P_{sc_{2}} \right)=1-\left( 1-P_{sc} \right)^{2} \\ & P_{s}=1-\left( 1-P_{sc} \right)^{2}=1-\left( 1+P_{sc}^{2}-2P_{sc} \right)=2P_{sc}-P_{sc}^{2} \\ & P_{sc}\le 1\to P_{sc}^{2}\ll P_{sc} \\ & P_{s}\approx 2P_{sc} \\ & \\ \end{align}$

[editar] Relacion prob. de error de simbolo y prob. de error de bit

La relación entre $P s$ y $P b$ es:

$P_{s}=1-\left( 1-P_{b} \right)^{k}$ siendo $k = log 2 M$

Pero, usando codificación Gray, y suponiendo que un error de símbolo solo produce un error de bit, tenemos que:

$\begin{align} & P_{s}\to 1bit \\ & P_{s}\leftrightarrow P_{b}? \\ & k=\log _{2}M\to \\ & \frac{P_{s}}{k}\approx P_{b} \\ & P_{s}\approx k\cdot P_{b} \\ \end{align}$

Podemos verlo intuitivamente: Si un símbolo equivale a dos bits, y hay un error en el símbolo, la probabilidad de error de bit será la mitad que la probabilidad de error del símbolo (suponiendo que el error solo puede ser de un bit), porque el error solo afectará a uno de los bit, siendo el otro correcto. Si el símbolo equivale a 10 bits, la probabilidad de error de bit será 10 veces menor, porque de los 10 bits solo 1 estará corrupto (debido a la asunción que hemos hecho) y los otros nueve correctos.

Para la probabilidad de error de bit por portadora, es análogo:

$\begin{align} & P_{s}\simeq k\cdot P_{b}\to \\ & P_{sc}\simeq k\cdot P_{bc} \\ \end{align}$

[editar] Demodulacion

$\begin{align} & s_{T}(t)=A_{c}\sum\limits_{k=-\infty }^{\infty }{a_{I_{k}}p\left( t-kT_{s} \right)\cos \left( \omega _{c}t \right)-A_{c}\sum\limits_{k=-\infty }^{\infty }{a_{Q_{k}}p\left( t-kT_{s} \right)\sin \left( \omega _{c}t \right)}} \\ & y_{T}(t)=s_{T}(t)+n(t) \\ & y_{R_{1}}(t)=y_{T}(t)\cdot \cos \left( \omega _{c}t \right)=s_{T}(t)\cos \left( \omega _{c}t \right)+n(t)\cos \left( \omega _{c}t \right)\to \left| H_{LPF}\left( f \right) \right|^{2} \\ & y_{R_{1}}(t)=A_{R}\sum\limits_{k=-\infty }^{\infty }{a_{I_{k}}p\left( t-kT_{s} \right)+n_{I}(t)} \\ & y_{R_{2}}(t)=y_{T}(t)\cdot \sin \left( \omega _{c}t \right)=s_{T}(t)\sin \left( \omega _{c}t \right)+n(t)\sin \left( \omega _{c}t \right)\to \left| H_{LPF}\left( f \right) \right|^{2} \\ & y_{R_{2}}(t)=A_{R}\sum\limits_{k=-\infty }^{\infty }{a_{Q_{k}}p\left( t-kT_{s} \right)+n_{Q}(t)} \\ \end{align}$

[editar] ASK

ASK

Una señal ASK es una codificacion unipolar NRZ modulada por un coseno, por lo que al demodular tendremos:

$\begin{align} & s_{ASK}(t)=A_{c}\sum\limits_{k=-\infty }^{\infty }{a_{k}p\left( t-kT_{s} \right)\cos \left( \omega _{c}t \right)} \\ & y_{R}(t)=A_{R}\underbrace{\sum\limits_{k=-\infty }^{\infty }{a_{k}p\left( t-kT_{s} \right)}}_{s_{I}(t)=s_{NRZ}(t)}+n_{I}(t) \\ & a_{k}=\left\{ 0,+A \right\} \\ & A=1 \\ & P_{e}=p_{'1'}\cdot Q\left( \frac{\left| V_{T}-m \right|}{\sqrt{\sigma ^{2}}} \right)+p_{'0'}\cdot Q\left( \frac{\left| V_{T}-m \right|}{\sqrt{\sigma ^{2}}} \right) \\ & NRZ\to P_{e}=Q\left( \sqrt{\frac{E_{b}}{\eta }} \right) \\ & ASK\to Q\left( \sqrt{\frac{E_{b}}{\eta }} \right) \\ \end{align}$

[editar] 4ASK

Artículo principal: Prob. de error de 4ASK.

$\begin{align} & s_{4-ASK}(t)=A_{c}\sum\limits_{k=-\infty }^{\infty }{a_{I_{k}}p\left( t-kT_{s} \right)\cos \left( \omega _{c}t \right)} \\ & a_{I_{k}}=\left\{ 0,A,+2A,+3A \right\} \\ \end{align}$

La constelacion de una señal ASK de 4 niveles es:

4-ASK

La probabilidad de error es:

$P_{s}\simeq \frac{3}{2}Q\left( \sqrt{\frac{E_{s}}{7\eta }} \right)=\frac{3}{2}Q\left( \sqrt{\frac{2E_{b}}{7\eta }} \right)$

[editar] M-ASK

Artículo principal: Prob. de error de M-ASK.

$\begin{align} & s_{M-ASK}(t)=A_{c}\sum\limits_{k=-\infty }^{\infty }{a_{I_{k}}p\left( t-kT_{s} \right)\cos \left( \omega _{c}t \right)} \\ & a_{I_{k}}=\left\{ 0,A,+2A,...\left( M-1 \right)A \right\} \\ \end{align}$

La probalidad de error para una señal ASK de M niveles es:

$P_{s}=\frac{M-1}{2}Q\left( \sqrt{\frac{3}{\left( M-1 \right)\left( 2M-1 \right)}\frac{E_{s}}{\eta }} \right)$

[editar] FSK

Al igual que en ASK, FSK son (dos) señales ASK que a su vez son codificaciones NRZ.

$FSK\to Q\left( \sqrt{\frac{E_{b}}{\eta }} \right)$

[editar] BPSK

En BPSK, al tener solo 2 simbolos:

$E s c = E s = E b$

por lo que: $P s c = P s = P b$

Para BSK, al demodular tenemos una codificacion polar, por lo que:

Constellation diagram for BPSK.

$\begin{align} & y_{R}(t)=A_{R}\sum\limits_{k=-\infty }^{\infty }{I_{k}p\left( t-kT_{s} \right)+n_{I}(t)} \\ & I_{k}=\left\{ -1,+1 \right\},Q_{k}=0 \\ & A=+1 \\ & a_{k}=\left\{ \begin{align} & a_{'1'}=A \\ & a_{'0'}=-A \\ \end{align} \right. \\ & m_{'1'}=\int_{0}^{T_{s}}{s_{'1'}(t)kp^{*}\left( t \right)\partial t}=\int_{0}^{T_{s}}{Ap(t)p^{*}\left( t \right)\partial t}=AT_{s} \\ & m_{'0'}=\int_{0}^{T_{s}}{s_{'0'}(t)kp^{*}\left( t \right)\partial t}=\int_{0}^{T_{s}}{-Ap(t)p^{*}\left( t \right)\partial t}=-AT_{s} \\ & V_{T}=0 \\ & P_{e}\left( Polar \right)=P_{e}\left( BPSK \right) \\ & P_{e}=p_{'1'}\cdot Q\left( \frac{\left| V_{T}-m \right|}{\sqrt{\sigma ^{2}}} \right)+p_{'0'}\cdot Q\left( \frac{\left| V_{T}-m \right|}{\sqrt{\sigma ^{2}}} \right)=Q\left( \sqrt{\frac{2A^{2}T_{s}}{\eta }} \right)=Q\left( \sqrt{\frac{2E_{b}}{\eta }} \right) \\ \end{align}$

[editar] QPSK

Artículo principal: Prob. de error de QPSK.

Constellation diagram for QPSK with Gray coding. Each adjacent symbol only differs by one bit.

La probabilidad de error de QPSK es la misma que la de BPSK.

$QPSK\to Q\left( \sqrt{\frac{2E_{b}}{\eta }} \right)$

[editar] MSK

Como se explicó, la señal MSK es una modulacion OQPSK que utiliza senoides en vez de pulsos rectangulares, por ello, su probabilidad de error es la misma que la de QPSK.

$MSK\to Q\left( \sqrt{\frac{2E_{b}}{\eta }} \right)$

[editar] 4PSK

4PSK

Una señal 4PSK demodulada es equivalente a una codificacion bipolar, por la que:

$P_{e}\simeq \frac{3}{2}Q\left( \sqrt{\frac{E_{b}}{\eta }} \right)$

Esta modulacion no es usada, pues su probabilidad de error es mayor que la de QPSK.

[editar] M-PSK

Formula aproximada (falta demostracion):

$\begin{align} & P_{sc}\left( M \right)\simeq Q\left( \sqrt{\frac{2E_{s}}{\eta }}\sin \left( \frac{\pi }{M} \right) \right) \\ & \\ & P_{s}\left( M \right)\simeq 2Q\left( \sqrt{\frac{2E_{s}}{\eta }}\sin \left( \frac{\pi }{M} \right) \right)\to Q(x)=\frac{1}{2}erfc\left( \frac{x}{\sqrt{2}} \right) \\ & P_{s}\left( M \right)\simeq erfc\left( \sqrt{\frac{E_{s}}{\eta }}\sin \left( \frac{\pi }{M} \right) \right) \\ \end{align}$