Desigualdades[editar]

Inecuaciones[editar]

Si tomamos una inecuación que involucre el valor absoluto, tenemos alguna de las dos situaciones siguientes:

$|a|\leq b\iff -b\leq a\leq b$
$|a|\geq b\iff a\leq -b\vee b\leq a$

La primera inecuación se cumple cuando tomamos un número a cuyo valor absoluto sea menor o igual a b. Por la propiedad de simetría y sin importar el signo de a, a la derecha de la recta el valor máximo de a es b y del lado izquierdo el valor máximo es -b. Todos los números contenidos entre -b y b cumplen esta propiedad por la misma razón.

En la segunda inecuación tenemos que el valor absoluto de a es mayor o igual a b. Al igual que en el caso anterior, los valores donde se cumple la igualdad son b y -b. Los puntos donde es mayor son:

Si a>0 entonces |a|=a y por lo tanto b<a
Si a<0 entonces |a|=-a y por lo tanto -a>b, multiplicando por (-1) tenemos a<-b

Como a puede ser cualquier número, se debe cumplir una de las dos condiciones anteriores y se puede decir que se cumple b<a o se cumple a<-b, como dice la inecuación.

Desigualdad del triángulo[editar]

Es la desigualdad más importante del valor absoluto, ya que se usa en la mayoría de las aplicaciones de esta función donde intervienen desigualdades.

Para cualquiera dos números a y b se cumple: $|a+b|\leq |a|+|b|$

Demostración
Haciendo uso de las propiedades del valor absoluto, es posible escribir: $-\|a\|\leq a\leq \|a\|$ $-\|b\|\leq b\leq \|b\|$ Sumando ambas inecuaciones: $-(\|a\|+\|b\|)\leq a+b\leq \|a\|+\|b\|$ A su vez, usando la propiedad de valor absoluto $\|a\|\leq b$ si y solo si $-b\leq a\leq b$ en la línea de arriba queda: $\|a+b\|\leq \|a\|+\|b\|$

Usos de la desigualdad del triángulo[editar]

Cualquier lado de un triángulo es menor a la suma de los otros dos.