Aritmética y Teoría de Números

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La aritmética es la rama de las matemáticas que estudia ciertas operaciones de los números y sus propiedades elementales. Proviene del origen griego arithmos y techne que quieren decir respectivamente números y habilidad.

Suma[editar]

La suma o adición es la operación matemática de combinar o añadir dos números para obtener una cantidad final o total. La suma también ilustra el proceso de juntar dos colecciones de objetos con el fin de obtener una sola colección. Por otro lado, la acción repetitiva de sumar uno, es la forma más básica de contar.

En términos más formales, la suma es una operación aritmética definida sobre conjuntos de números (naturales, enteros, racionales, reales y complejos) y también sobre estructuras asociadas a ellos, como espacios vectoriales con vectores cuyas componentes sean estos números o funciones que tengan su imagen en ellos.

En el álgebra moderna se utiliza el nombre suma y su símbolo + para representar la operación formal de un anillo que dota al anillo de estructura de grupo abeliano, o la operación de un módulo que dota al módulo de estructura de grupo abeliano. También se utiliza a veces en teoría de grupos para representar la operación que dota a un conjunto de estructura de grupo. En estos casos se trata de una denominación puramente simbólica, sin que necesariamente coincida esta operación con la suma habitual en números, funciones, vectores...

Propiedades de la suma[editar]

Propiedad Ejemplo Explicación
Conmutativa a+b=b+a Si se altera el orden de los sumandos no cambia el resultado.
Asociativa a+(b+c)=c+(b+a)
Elemento neutro a+0=0+a=a
Elemento opuesto o simétrico a+(-a)=(-a)+a=0 Para cualquier número entero, racional, real o complejo existe un número -a que hace que el resultado sea igual a zero. Este número -a se denomina elemento opuesto y es único para cada a. No existe en algunos conjuntos, cómo el de los números naturales.

Estas propiedades pueden no cumplirse en casos del límite de sumas parciales cuando tienden al infinito. La revista Suma Psicológica publica artículos de interés general para la psicología concebida como una ciencia y, por lo tanto, se aceptan reportes sobre investigaciones de carácter empírico, tanto a nivel básico como aplicado; discusiones teóricas, filosóficas o conceptuales sobre la disciplina y reinterpretaciones de datos previamente publicados.

Multiplicación[editar]

La multiplicación es una operación aritmética. Multiplicar dos cantidades consiste en sumar reiteradamente la primera, tantas veces como indica la segunda. Así, 4 × 3 = 4 + 4 + 4. La multiplicación está asociada al concepto de área geométrica.

El resultado de la multiplicación de varios números se llama producto. Los números que se multiplican se llaman factores o coeficientes, e individualmente: multiplicando (número a sumar) y multiplicador (veces que se suma el multiplicando). Aunque esta diferenciación en algunos contextos puede ser superflua cuando en el conjunto donde esté definido el producto se tiene la propiedad conmutativa de la multiplicación (por ejemplo, en los conjuntos numéricos). Véase [1] para una discusión sobre el tema.

En Álgebra Moderna se suele usar la denominación producto o multiplicación con su notación habitual · para designar la operación externa en un módulo, para designar también la segunda operación que se define en un anillo (aquella para la que no está definido el elemento inverso del 0), o para designar la operación que dota a un conjunto de estructura de grupo. El aprendizaje de la matemática en educación primaria necesita incorporar un significado que dote de fundamento epistemológico el conocimiento adquirido. Cuando buscamos ese significado para un concepto matemático corremos el riesgo de desnaturalizar los principios científicos que dan sentido al concepto, en este caso, en la estructura matemática. Al expresar, en los procedimientos didácticos, la multiplicación aritmética como suma de sumandos iguales, arriesgamos la comprensión del concepto en su auténtica ortodoxia. En este artículo se dan razones que se apoyan fundamentalmente en errores cometidos por los escolares. Para finalizar, se sugiere un procedimiento para la intervención educativa en la enseñanza de la multiplicación.

Potenciación[editar]

La potenciación es una multiplicación de varios factores iguales, al igual que la multiplicación es una suma de varios sumandos iguales, (la potenciación se considera una multiplicación abreviada).

En la nomenclatura de la potenciación se diferencian dos partes, la base y el exponente, que se escribe en forma de superíndice. El exponente determina la cantidad de veces que la base se multiplica por sí misma. Por ejemplo:

   2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16 

en general:

   a^n = \underbrace{a \times \cdots \times a}_n,

Una de las definiciones de la potenciación, por recursión, es la siguiente:

   x^1 = x
  x^a = x \cdot x^{a-1}

Si en la segunda expresión se toma a=1, se tiene que x^1 = x\cdot x^0. Al dividir los dos términos de la igualdad por x (que se puede hacer siempre que x sea distinto de 0), queda que x^0=1.

Así que cualquier número (salvo el 0) elevado a 0 da 1. El caso particular de 00, en principio, no está definido (ver en Cero). Sin embargo, también se puede definir como 1 si nos atenemos a la idea de producto vacío o simplemente por analogía con el resto de números.

Para convertir una base con exponente negativo a positivo se pone la inversa de la base, es decir que la potencia pasa con exponente positivo.

Normalmente, las potencias con base 10, por la cantidad que represente el exponente,esa será la cantidad de ceros en el resultado. El resto de la bases, para sacar el resultado el número se multiplica por sí mismo cuantas veces indique el exponente.

Función raíz[editar]

Sea n un número natural no nulo. La función (potenciación) x → x^n define una biyección de \mathbb{R} hacia \mathbb{R} si n es impar, y hacia \mathbb{R}^+ = [0,\infty) si n es par. Se llama enésima raíz, o raíz de orden n su función recíproca, y se puede anotar de formas:

y = \sqrt[n]{x} = x^{1/n}.

Para todo n natural, a y b reales positivos, tenemos la equivalencia:

a = b^n \iff b = \sqrt[n]{a}.

En él, se han dibujado las curvas de algunas raíces, así como de sus funciones recíprocas, en el intervalo [0;1]. La diagonal de ecuación y = x es eje de simetría entre cada curva y la curva de su recíproca.

Logaritmo[editar]

En matemática, el logaritmo es el exponente (o potencia) a la que un número fijo, llamado base, se ha de elevar para obtener un número dado.

Es la función inversa de la exponencial x = bn, que permite obtener n.

Esta función se escribe como: n = logb x.

Así, en la expresión 102 = 100, el logaritmo de 100 en base 10 es 2, y se escribe como log10 100 = 2.

Por ejemplo: 34 = 81 \longmapsto \log_3 81 = 4 \,\!

El logaritmo es una de tres funciones relacionadas entre sí: en bn = x, puede encontrarse b con radicales, n con logaritmos y x con exponenciación.

Se denomina logaritmo neperiano o logaritmo natural (ln) al logaritmo en base e de un número.

Teoría de números[editar]

La teoría de números es la rama de matemáticas puras que estudia las propiedades de los números en general y de los enteros en particular, así como diversos problemas derivados de su estudio. Contiene una cantidad considerable de problemas que podrían ser comprendidos por "no matemáticos". De forma más general, este campo estudia los problemas que surgen con el estudio de los enteros. Tal como cita Jürgen Neukirch:

La teoría de números ocupa entre las disciplinas matemáticas una posición idealizada análoga a aquella que ocupan las matemáticas mismas entre las otras ciencias.[2]

El término "aritmética" también era utilizado para referirse a la teoría de números. Este es un término bastante antiguo, aunque ya no tan popular como en el pasado. De allí la teoría de números suele ser denominada alta aritmética,[3] aunque el término también ha caído en desuso. Este sentido del término aritmética no debe ser confundido con la aritmética elemental, o con la rama de la lógica que estudia la aritmética de Peano como un sistema formal. Los matemáticos que estudian la teoría de números son llamados teóricos de números.

Campos[editar]

Según los métodos empleados y las preguntas que se intentan contestar, la teoría de números se subdivide en diversas ramas. Teoría elemental de número e integrales, teoría del número.


En la teoría elemental de números, se estudian los números enteros sin emplear técnicas procedentes de otros campos de las matemáticas. Pertenecen a la teoría elemental de números las cuestiones de divisibilidad, el algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor, la factorización de los enteros como producto de números primos, la búsqueda de los números perfectos y las congruencias. Son enunciados típicos el pequeño teorema de Fermat y el teorema de Euler que lo extiende, el teorema chino del resto y la ley de reciprocidad cuadrática. En esta rama se investigan las propiedades de las funciones multiplicativas como la función de Möbius y la función φ de Euler; así como las sucesiones de números enteros como los factoriales y los números de Fibonacci.

Diversos cuestionamientos dentro de la teoría elemental de números parecen simples, pero requieren consideraciones muy profundas y nuevas aproximaciones, incluyendo las siguientes:

  • Conjetura de Goldbach sobre que todos los números pares (a partir de 4) son la suma de dos números primos.
  • Conjetura de los números primos gemelos sobre la infinitud de los llamados números primos gemelos
  • Último teorema de Fermat (demostrado en 1995)
  • Hipótesis de Riemann sobre la distribución de los ceros de la función zeta de Riemann, íntimamente conectada con el problema de la distribución de los números primos.

Teoría analítica de números[editar]

La teoría analítica de números emplea como herramientas el cálculo y el análisis complejo para abordar preguntas acerca de los números enteros. Algunos ejemplos de esta son el teorema de los números primos y la hipótesis de Riemann. El problema de Waring, la conjetura de los números primos gemelos y la conjetura de Goldbach también están siendo atacados a través de métodos analíticos.